Hypergraph $p$-Laplacian regularization on point clouds for data interpolation

要約

グラフの一般化として、ハイパーグラフは、データの高次関係をモデル化するために広く使用されています。
このペーパーでは、明示的な構造情報が含まれていないポイントクラウドデータの補間のためのハイパーグラフ構造の利点を探ります。
$ \ varepsilon_n $ -ball Hypergraphと$ k_n $ -nearest neight hypergraphをポイントクラウドに定義し、ハイパーグラフの$ p $ -laplacianの正規化を研究します。
ハイパーグラフ$ p $ -laplacianの正規化と、$ n $の数が無限になっている間にラベル付けされたポイントの数が固定されている場合、半分拡張設定で連続体$ p $ -laplacianの正則化との間の変動の一貫性を証明します。
グラフケースと比較して重要な改善は、結果が$ \ varepsilon_n $と$ k_n $の上限の弱い仮定に依存していることです。
凸ではあるが異なる大規模な最適化問題を解決するために、確率的原始ハイブリッド勾配アルゴリズムを利用します。
データ補間に関する数値実験では、ハイパーグラフ$ p $ -laplacianの正規化が、ラベル付けされたポイントでのスパイクの開発を防ぐためのグラフ$ p $ -laplacianの正則化よりも優れていることを確認します。

要約(オリジナル)

As a generalization of graphs, hypergraphs are widely used to model higher-order relations in data. This paper explores the benefit of the hypergraph structure for the interpolation of point cloud data that contain no explicit structural information. We define the $\varepsilon_n$-ball hypergraph and the $k_n$-nearest neighbor hypergraph on a point cloud and study the $p$-Laplacian regularization on the hypergraphs. We prove the variational consistency between the hypergraph $p$-Laplacian regularization and the continuum $p$-Laplacian regularization in a semisupervised setting when the number of points $n$ goes to infinity while the number of labeled points remains fixed. A key improvement compared to the graph case is that the results rely on weaker assumptions on the upper bound of $\varepsilon_n$ and $k_n$. To solve the convex but non-differentiable large-scale optimization problem, we utilize the stochastic primal-dual hybrid gradient algorithm. Numerical experiments on data interpolation verify that the hypergraph $p$-Laplacian regularization outperforms the graph $p$-Laplacian regularization in preventing the development of spikes at the labeled points.

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