FlowKac: An Efficient Neural Fokker-Planck solver using Temporal Normalizing flows and the Feynman Kac-Formula

要約

高次元の複雑な動的システムのFokker-Planck方程式を解決することは、分析ソリューションの扱いやすさと従来の数値的手法の制限により、極めて重要でありながら挑戦的な作業のままです。
この作業では、Fokker-Planck方程式をFeynman-KAC式を使用して再フォーマルする新しいアプローチであるFlowKacを提示し、確率的経路の期待値を介して特定のポイントでソリューションを照会することができます。
FlowKacの重要な革新は、高精度を維持しながら計算の複雑さを大幅に削減する適応的確率的サンプリングスキームにあります。
このサンプリング手法は、時間を進化させる確率密度をキャプチャするために設計された時間インデックスの正規化フローと相まって、コロケーションポイントの堅牢なサンプリングを可能にし、柔軟でメッシュフリーのソルバーをもたらします。
この定式化は、次元の呪いを軽減し、計算効率と精度を向上させます。これは、従来の3を超えた寸法を本質的に必要とするアプリケーションにとって特に重要です。
さまざまな確率的微分方程式に関するさまざまな実験を通じて、方法の堅牢性とスケーラビリティを検証し、既存の技術よりも大幅な改善を示しています。

要約(オリジナル)

Solving the Fokker-Planck equation for high-dimensional complex dynamical systems remains a pivotal yet challenging task due to the intractability of analytical solutions and the limitations of traditional numerical methods. In this work, we present FlowKac, a novel approach that reformulates the Fokker-Planck equation using the Feynman-Kac formula, allowing to query the solution at a given point via the expected values of stochastic paths. A key innovation of FlowKac lies in its adaptive stochastic sampling scheme which significantly reduces the computational complexity while maintaining high accuracy. This sampling technique, coupled with a time-indexed normalizing flow, designed for capturing time-evolving probability densities, enables robust sampling of collocation points, resulting in a flexible and mesh-free solver. This formulation mitigates the curse of dimensionality and enhances computational efficiency and accuracy, which is particularly crucial for applications that inherently require dimensions beyond the conventional three. We validate the robustness and scalability of our method through various experiments on a range of stochastic differential equations, demonstrating significant improvements over existing techniques.

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