Scalable Signature Kernel Computations for Long Time Series via Local Neumann Series Expansions

要約

署名カーネルは、その理論的保証と強力な経験的パフォーマンスで評価された高次元のシーケンシャルデータを分析するための最近の最先端のツールです。
この論文では、動的に切り捨てられた再帰ローカルパワーシリーズ拡張を介して、長く高次元の時系列の署名カーネルを効率的に計算するための新しい方法を提示します。
グルサットPDEのソリューションとしての署名カーネルの特性評価に基づいて、私たちのアプローチは、タイルワイズのノイマンシリーズ拡張を採用して、サブドメインで局所的に定義され、時系列を搾取することによりgoursat溶液のドメイン全体に繰り返し繰り返される署名カーネルの迅速に収束するパワーシリーズ近似を導き出します。
アルゴリズム的には、これには、トポロジー順序を介して方向性グラフに沿って境界条件を再帰的に伝播することにより、相互依存のローカルグルサットPDEのシステムを解くことが含まれ、係数が機械の精度を下回る場合に各ローカルパワーシリーズの拡張を適応的に終了し、計算コストと精度の効果的なバランスをとることが含まれます。
この方法は、非常に高い粗さを持つ時系列であっても、（a）調整可能で優れた精度を提供するための署名カーネルを計算するための最先端のアプローチよりも大幅なパフォーマンスの改善を達成します。
（b）メモリ要件が大幅に減少した。
（c）単一のGPUで非常に長い時系列（例えば最大50万ポイント以上）を効率的に処理するスケーラビリティ。
これらの利点は、非常に長く揮発性のデータを含むラフパス支援の機械学習、財務モデリング、および信号処理アプリケーションに特に適しています。

要約(オリジナル)

The signature kernel is a recent state-of-the-art tool for analyzing high-dimensional sequential data, valued for its theoretical guarantees and strong empirical performance. In this paper, we present a novel method for efficiently computing the signature kernel of long, high-dimensional time series via dynamically truncated recursive local power series expansions. Building on the characterization of the signature kernel as the solution of a Goursat PDE, our approach employs tilewise Neumann-series expansions to derive rapidly converging power series approximations of the signature kernel that are locally defined on subdomains and propagated iteratively across the entire domain of the Goursat solution by exploiting the geometry of the time series. Algorithmically, this involves solving a system of interdependent local Goursat PDEs by recursively propagating boundary conditions along a directed graph via topological ordering, with dynamic truncation adaptively terminating each local power series expansion when coefficients fall below machine precision, striking an effective balance between computational cost and accuracy. This method achieves substantial performance improvements over state-of-the-art approaches for computing the signature kernel, providing (a) adjustable and superior accuracy, even for time series with very high roughness; (b) drastically reduced memory requirements; and (c) scalability to efficiently handle very long time series (e.g., with up to half a million points or more) on a single GPU. These advantages make our method particularly well-suited for rough-path-assisted machine learning, financial modeling, and signal processing applications that involve very long and highly volatile data.

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