Mechanistic PDE Networks for Discovery of Governing Equations

要約

機械的PDEネットワークを提示します。これは、データからの部分微分方程式を管理するモデルです。
機械的PDEネットワークは、神経ネットワークの隠れ表現における時空依存の線形部分微分方程式としての時空間データを表します。
代表されるPDEは、特定のタスクのために解決およびデコードされます。
学習したPDE表現は、ニューラルネットワークの隠れた空間のデータにおける時空間的ダイナミクスを自然に表現し、動的モデリングのパワーの増加を可能にします。
ただし、PDE表現を計算およびメモリ効率の高い方法で解決することは、重要な課題です。
機械的PDEネットワークのモジュールとして機能する線形部分微分方程式に特化した、Native、GPU-Capable、Parallel、Sparse、および微分可能なマルチグリッドソルバーを開発します。
PDEソルバーを活用して、複雑な設定で非線形PDEを発見しながらノイズに堅牢であることを発見できるディスカバリーアーキテクチャを提案します。
反応拡散やナビエストークス方程式など、多くのPDEでPDE発見を検証します。

要約(オリジナル)

We present Mechanistic PDE Networks — a model for discovery of governing partial differential equations from data. Mechanistic PDE Networks represent spatiotemporal data as space-time dependent linear partial differential equations in neural network hidden representations. The represented PDEs are then solved and decoded for specific tasks. The learned PDE representations naturally express the spatiotemporal dynamics in data in neural network hidden space, enabling increased power for dynamical modeling. Solving the PDE representations in a compute and memory-efficient way, however, is a significant challenge. We develop a native, GPU-capable, parallel, sparse, and differentiable multigrid solver specialized for linear partial differential equations that acts as a module in Mechanistic PDE Networks. Leveraging the PDE solver, we propose a discovery architecture that can discover nonlinear PDEs in complex settings while also being robust to noise. We validate PDE discovery on a number of PDEs, including reaction-diffusion and Navier-Stokes equations.

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