Neural Green’s Operators for Parametric Partial Differential Equations

要約

この作業では、線形部分微分方程式（PDE）のパラメトリックファミリーのソリューション演算子を学習する新しいニューラルオペレーターネットワークアーキテクチャであるNeural Greenの演算子（NGO）を紹介します。
NGOの構造は、このようなソリューション演算子のグリーンの定式化から直接導出されています。
Deep Operator Networks（DeepOnets）およびVariationAlly Mimetic Operator Networks（Varmions）と同様に、NGOは、サブネットワークから返される係数から返される基底関数の観点からPDEのソリューションの拡大を構成します。
別のサブネットワーク。
ただし、Greenの定式化に従って、NGOは、DeeponetsやVarmionsの場合のように、サンプリングされた値ではなく、入力関数の加重平均を受け入れます。
標準的な線形パラメトリックPDEへのNGOの適用は、トレーニング分布内にあるデータをテストする際にディープネット、バーミオン、フーリエ神経演算子と競合し続けているが、トレーニング分布外で生成されたより細かいデータをテストするときに堅牢に一般化することを示しています。
。
さらに、NGOによって返されるグリーンの関数の明示的な表現により、PDEの数値ソルバー用の効果的な前処理者の構築が可能になることを示します。

要約(オリジナル)

This work introduces neural Green’s operators (NGOs), a novel neural operator network architecture that learns the solution operator for a parametric family of linear partial differential equations (PDEs). Our construction of NGOs is derived directly from the Green’s formulation of such a solution operator. Similar to deep operator networks (DeepONets) and variationally mimetic operator networks (VarMiONs), NGOs constitutes an expansion of the solution to the PDE in terms of basis functions, that is returned from a sub-network, contracted with coefficients, that are returned from another sub-network. However, in accordance with the Green’s formulation, NGOs accept weighted averages of the input functions, rather than sampled values thereof, as is the case in DeepONets and VarMiONs. Application of NGOs to canonical linear parametric PDEs shows that, while they remain competitive with DeepONets, VarMiONs and Fourier neural operators when testing on data that lie within the training distribution, they robustly generalize when testing on finer-scale data generated outside of the training distribution. Furthermore, we show that the explicit representation of the Green’s function that is returned by NGOs enables the construction of effective preconditioners for numerical solvers for PDEs.

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