Meshless Shape Optimization using Neural Networks and Partial Differential Equations on Graphs

要約

形状の最適化には、部分的な微分方程式（PDE）によって支配されることが多い一連の形状で定義されるコスト関数の最小化が含まれます。
閉形型のソリューションがない場合、ソリューションを近似するために数値的な方法に依存しています。
Level Setメソッド – 有限要素メソッドと組み合わされた場合 – は、最も汎用性の高い数値形状の最適化アプローチの1つですが、ほとんどのメッシュベースの方法の制限に悩まされています。
この作業では、ニューラルネットワークを活用してレベルセット関数をパラメーター化し、グラフLaplacianを使用して基礎となるPDEを近似する完全にメッシュレスレベルセットフレームワークを提示します。
私たちのアプローチにより、表面正常や曲率などの幾何学的な量の正確な計算が可能になり、凸形状のクラス内で最適化の問題に取り組むことができます。

要約(オリジナル)

Shape optimization involves the minimization of a cost function defined over a set of shapes, often governed by a partial differential equation (PDE). In the absence of closed-form solutions, one relies on numerical methods to approximate the solution. The level set method — when coupled with the finite element method — is one of the most versatile numerical shape optimization approaches but still suffers from the limitations of most mesh-based methods. In this work, we present a fully meshless level set framework that leverages neural networks to parameterize the level set function and employs the graph Laplacian to approximate the underlying PDE. Our approach enables precise computations of geometric quantities such as surface normals and curvature, and allows tackling optimization problems within the class of convex shapes.

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