ConDiff: A Challenging Dataset for Neural Solvers of Partial Differential Equations

要約

科学的機械学習のための新しいデータセットであるConDiffを紹介する。ConDiffは、偏微分方程式（PDE）の多くの応用において基本的な問題である、空間依存係数を持つパラメトリック拡散方程式に焦点を当てている。提案するデータセットの主な新規性は、高いコントラストを持つ不連続係数を考慮することである。これらの係数関数は、選択された分布セットからサンプリングされる。このクラスの問題は、学術的に非常に興味深いだけでなく、様々な環境問題や産業問題を記述するための基礎でもある。このようにConDiffは、完全合成で使いやすいまま、実世界の問題とのギャップを縮めています。ConDiffは、異なる係数関数間の比較をより明確にするために、測定可能な複雑度メトリックを持つ、幅広いコントラストレベルと不均一性をカバーする係数を持つ、多様な拡散方程式セットから構成されています。我々は、科学的機械学習の分野における標準的な深層学習モデル上でConDiffをベースラインとする。それぞれ独自の係数関数と右辺を持つ多数の問題インスタンスを提供することで、ニューラル・オペレータのような物理ベースの新しいディープ・ラーニング・アプローチの開発を促し、最終的には複雑なPDE問題のより正確で効率的な解法への進歩を促進することを期待している。

要約(オリジナル)

We present ConDiff, a novel dataset for scientific machine learning. ConDiff focuses on the parametric diffusion equation with space dependent coefficients, a fundamental problem in many applications of partial differential equations (PDEs). The main novelty of the proposed dataset is that we consider discontinuous coefficients with high contrast. These coefficient functions are sampled from a selected set of distributions. This class of problems is not only of great academic interest, but is also the basis for describing various environmental and industrial problems. In this way, ConDiff shortens the gap with real-world problems while remaining fully synthetic and easy to use. ConDiff consists of a diverse set of diffusion equations with coefficients covering a wide range of contrast levels and heterogeneity with a measurable complexity metric for clearer comparison between different coefficient functions. We baseline ConDiff on standard deep learning models in the field of scientific machine learning. By providing a large number of problem instances, each with its own coefficient function and right-hand side, we hope to encourage the development of novel physics-based deep learning approaches, such as neural operators, ultimately driving progress towards more accurate and efficient solutions of complex PDE problems.

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