Neural Discovery in Mathematics: Do Machines Dream of Colored Planes?

要約

Hadwiger-Nelson問題のケーススタディ、単色の単位距離ペアを避ける平面の色付けに関する個別のジオメトリと組み合わせの長年のオープンな問題を通じて、ニューラルネットワークがどのように数学的発見を促進できるかを示します。
ニューラルネットワークを近似値として使用して、この混合別の幾何学的な色付け問題を、確率的で微分可能な損失関数を備えた最適化タスクとして再定式化します。
これにより、2つの新しい6色の発見に最も著しくつながった許容可能な構成の勾配ベースの探索が可能になり、30年ぶりの最初の改善が元の問題の外角変異体になります（Mundinger et al。、2024a）。
ここでは、これらの結果を得るために使用される基礎となる機械学習アプローチを確立し、追加の結果と数値洞察を通じてその幅広い適用性を実証します。

要約(オリジナル)

We demonstrate how neural networks can drive mathematical discovery through a case study of the Hadwiger-Nelson problem, a long-standing open problem from discrete geometry and combinatorics about coloring the plane avoiding monochromatic unit-distance pairs. Using neural networks as approximators, we reformulate this mixed discrete-continuous geometric coloring problem as an optimization task with a probabilistic, differentiable loss function. This enables gradient-based exploration of admissible configurations that most significantly led to the discovery of two novel six-colorings, providing the first improvements in thirty years to the off-diagonal variant of the original problem (Mundinger et al., 2024a). Here, we establish the underlying machine learning approach used to obtain these results and demonstrate its broader applicability through additional results and numerical insights.

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