Hellinger-Kantorovich Gradient Flows: Global Exponential Decay of Entropy Functionals

要約

オットーワッシャースタインの輸送メカニズムと、ヘリンジャー（またはフィッシャーラオ）の生死メカニズムを統合するヘルンジャーカントロヴィッチ（HK）のジオメトリに焦点を当てた、正と確率の測定値の勾配流のファミリーを調査します。
中心的な貢献とは、オットーワーセルシュタインおよびヘリンジャータイプの勾配フローの下で、エントロピー機能のグローバルな指数減衰挙動（kl、$ \ chi^2 $）の完全な特性評価です。
特に、典型的な対数ソボレフ引数が失敗する肯定的な尺度でのHK勾配の流れのより困難な分析のために、新しい分析結果を可能にする特殊な形状質量分解を開発します。
また、私たちのアプローチは、（polyak-）\ l {} ojasiewicz型機能的不平等と古典的な散逸推定値の慎重な拡張を活用しています。
これらの調査結果は、統計的推論、最適化、および機械学習のための計算アルゴリズムの勾配フローのための統一された完全な理論的枠組みを提供します。

要約(オリジナル)

We investigate a family of gradient flows of positive and probability measures, focusing on the Hellinger-Kantorovich (HK) geometry, which unifies transport mechanism of Otto-Wasserstein, and the birth-death mechanism of Hellinger (or Fisher-Rao). A central contribution is a complete characterization of global exponential decay behaviors of entropy functionals (e.g. KL, $\chi^2$) under Otto-Wasserstein and Hellinger-type gradient flows. In particular, for the more challenging analysis of HK gradient flows on positive measures — where the typical log-Sobolev arguments fail — we develop a specialized shape-mass decomposition that enables new analysis results. Our approach also leverages the (Polyak-)\L{}ojasiewicz-type functional inequalities and a careful extension of classical dissipation estimates. These findings provide a unified and complete theoretical framework for gradient flows and underpin applications in computational algorithms for statistical inference, optimization, and machine learning.

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