Discrete Lagrangian Neural Networks with Automatic Symmetry Discovery

要約

物理学で最も基本的な原則の1つによって、動的システムは、機能を極端にする動きを示します。
これは、オイラーラグランジュ方程式の形成につながります。これは、システムが時間内にどのように動作するかのモデルとして機能します。
ダイナミクスが追加の対称性を示す場合、動きはエネルギーの保全（時間の不変性）、勢い（翻訳不変性）、または角運動量（回転不変性）などの追加の保全法を果たします。
システム表現を学習するために、離散オイラー – ラグランジュ方程式を学習するか、またはそれらを定義する離散ラグランジアン関数$ \ mathcal {l} _d $を学習することができます。
Lie Group Theoryのアイデアに基づいて、この作業では、離散的なラグランジアンとその対称グループを学習するフレームワークを紹介し、運動の離散観察から、したがって保存量を特定します。
学習プロセスは、ラグランジアンの形式を制限せず、速度または運動量の観察または予測を必要とせず、不要なソリューションや将来のシミュレーションにおける潜在的な数値問題に対して保護するコスト用語を組み込みます。
学習した個別の量は、変分後の誤差分析を使用して連続類似体に関連しており、数値結果は、ノイズの存在下でも定性的および定量的にできるようなモデルの両方を持つことができる改善を示しています。

要約(オリジナル)

By one of the most fundamental principles in physics, a dynamical system will exhibit those motions which extremise an action functional. This leads to the formation of the Euler-Lagrange equations, which serve as a model of how the system will behave in time. If the dynamics exhibit additional symmetries, then the motion fulfils additional conservation laws, such as conservation of energy (time invariance), momentum (translation invariance), or angular momentum (rotational invariance). To learn a system representation, one could learn the discrete Euler-Lagrange equations, or alternatively, learn the discrete Lagrangian function $\mathcal{L}_d$ which defines them. Based on ideas from Lie group theory, in this work we introduce a framework to learn a discrete Lagrangian along with its symmetry group from discrete observations of motions and, therefore, identify conserved quantities. The learning process does not restrict the form of the Lagrangian, does not require velocity or momentum observations or predictions and incorporates a cost term which safeguards against unwanted solutions and against potential numerical issues in forward simulations. The learnt discrete quantities are related to their continuous analogues using variational backward error analysis and numerical results demonstrate the improvement such models can have both qualitatively and quantitatively even in the presence of noise.

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