要約
最適なトランスポートバリセンター(別名Wasserstein barycenter)は、ユークリッド空間から確率分布のワッサースタイン空間にまで及ぶ平均化の基本的な概念です。
ポイントクラウドでの離散化確率分布のための不規則なバリセンターの計算は、ドメイン寸法$ d> 1 $の場合、困難なタスクです。
バリセンター問題を近似するためのほとんどの実用的なアルゴリズムは、エントロピーの正則化に基づいています。
このホワイトペーパーでは、ほぼ線形の時間$ o(m \ log {m})$および線形空間の複雑さ$ o(m)$ primal-dualアルゴリズムを紹介します。
^1 $ ascent(wdha)アルゴリズム。入力確率密度関数が$ m $ -pointグリッドで離散化されている場合の正確なバリセンターを計算します。
WDHAアルゴリズムの重要な成功は、プライマルバリセンターとデュアルカントロビッチの潜在的なサブ問題の2つの異なるが、密接に関連する2つのWassersteinとSobolevの最適化ジオメトリを交互に覆うことにかかっています。
合理的な仮定の下で、ステップサイズが適切に選択されたときに、WDHAの収束率と反復の複雑さを確立します。
既存のシンクホーン型アルゴリズムに対する優れた計算効果、スケーラビリティ、および精度は、高解像度(たとえば、1024ドル\タイム1024 $画像など)で実証されています。
要約(オリジナル)
The optimal transport barycenter (a.k.a. Wasserstein barycenter) is a fundamental notion of averaging that extends from the Euclidean space to the Wasserstein space of probability distributions. Computation of the unregularized barycenter for discretized probability distributions on point clouds is a challenging task when the domain dimension $d > 1$. Most practical algorithms for approximating the barycenter problem are based on entropic regularization. In this paper, we introduce a nearly linear time $O(m \log{m})$ and linear space complexity $O(m)$ primal-dual algorithm, the Wasserstein-Descent $\dot{\mathbb{H}}^1$-Ascent (WDHA) algorithm, for computing the exact barycenter when the input probability density functions are discretized on an $m$-point grid. The key success of the WDHA algorithm hinges on alternating between two different yet closely related Wasserstein and Sobolev optimization geometries for the primal barycenter and dual Kantorovich potential subproblems. Under reasonable assumptions, we establish the convergence rate and iteration complexity of WDHA to its stationary point when the step size is appropriately chosen. Superior computational efficacy, scalability, and accuracy over the existing Sinkhorn-type algorithms are demonstrated on high-resolution (e.g., $1024 \times 1024$ images) 2D synthetic and real data.
arxiv情報
著者 | Kaheon Kim,Rentian Yao,Changbo Zhu,Xiaohui Chen |
発行日 | 2025-01-24 16:55:21+00:00 |
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