Matrix Completion in Group Testing: Bounds and Simulations

要約

グループテストの主な目的は、多数の品目の中から少数の欠陥品を特定することです。
品目のサブセットに対するテストは、そのサブセットに少なくとも 1 つの欠陥品が含まれている場合は陽性となり、それ以外の場合は陰性となります。
非適応設計では、すべてのテストを同時にテストでき、行と列がそれぞれテストと項目を表す測定行列で表すことができます。
行 $i$ と列 $j$ のエントリは、項目 $j$ がテスト $i$ に属している場合は 1 で、そうでない場合は 0 です。
未知の欠陥品のセットが与えられた場合、その目的は、対応する結果ベクトルを観察することによって欠陥品を効率的に回復できるように測定行列を設計することです。
このアプローチの基本的な特徴は、結果ベクトルの生成と欠陥品の回復の過程を通じて測定行列が変化しないことです。
この論文では、欠陥品の回復段階の前に、 \emph{欠落している測定行列} と呼ばれる、測定行列の一部のエントリが消去された場合を研究します。私たちの目的は、欠陥品の回復段階から測定行列を完全に復元することです。
測定行列がありません。
特に、消去されたエントリを持つ一部の特定の行は回復に役立つ情報を提供しますが、他の行は提供しないことを示します。
測定行列と消去されたエントリがベルヌーイ分布に従うとすると、消去イベントが発生する前に、十分な数の欠陥品目とそれに対応する結果ベクトルをサンプリングすることで、欠落している測定行列から測定行列を回復できることがわかります。

要約(オリジナル)

The main goal of group testing is to identify a small number of defective items in a large population of items. A test on a subset of items is positive if the subset contains at least one defective item and negative otherwise. In non-adaptive design, all tests can be tested simultaneously and represented by a measurement matrix in which a row and a column represent a test and an item, respectively. An entry in row $i$ and column $j$ is 1 if item $j$ belongs to the test $i$ and is 0 otherwise. Given an unknown set of defective items, the objective is to design a measurement matrix such that, by observing its corresponding outcome vector, the defective items can be recovered efficiently. The basic trait of this approach is that the measurement matrix has remained unchanged throughout the course of generating the outcome vector and recovering defective items. In this paper, we study the case in which some entries in the measurement matrix are erased, called \emph{the missing measurement matrix}, before the recovery phase of the defective items, and our objective is to fully recover the measurement matrix from the missing measurement matrix. In particular, we show that some specific rows with erased entries provide information aiding the recovery while others do not. Given measurement matrices and erased entries follow the Bernoulli distribution, we show that before the erasing event happens, sampling sufficient sets of defective items and their corresponding outcome vectors can help us recover the measurement matrix from the missing measurement matrix.

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