High-Rank Irreducible Cartesian Tensor Decomposition and Bases of Equivariant Spaces

要約

既約デカルト テンソル (ICT) は、等変グラフ ニューラル ネットワークの設計だけでなく、理論化学や化学物理学でも重要な役割を果たします。
一方、対称性を維持するテンソル上で利用可能な線形演算の設計空間には、重大な課題が存在します。
ICT 分解とこの等変空間の基底は、高ランクのテンソルでは取得することが困難です。
数十年の研究を経て、Bonvicini (2024) は最近、時間/空間階乗計算量で $n=5$ の明示的な ICT 分解を達成しました。
この研究では、パス行列と呼ばれるものを構築することにより、ランク $n=9$ までの ICT の分解行列を、軽減された手頃な複雑さで初めて取得します。
パス行列は、親子関係スキームに従ってクレブシュ ゴルダン行列を使用してチェーン状の短縮を実行することによって取得されます。
パス行列の連結が、デカルト テンソル積空間と球面直和空間の間の正規直交基底変更行列であることを証明し、活用します。
さらに、このパス行列手法を通じて、スパニング セットではなく、等変空間の完全な直交基底を特定します (Pearce-Crump、2023)。
私たちの知る限り、これは、任意のランクの直交 ICT 分解行列と直交等変基底を理論的に取得するための、数値的ではなく解析的な最初の方法でもあります。
さらに結果を任意のテンソル積と直和空間に拡張し、対称性を保ちながら異なる空間間の自由な設計を可能にします。
Python コードは https://github.com/ShihaoShao-GH/ICT-decomposition-and-equivariant-bases で入手できます。$n=6,\dots,9$ ICT 分解行列は 1s、3s、
28 コア Intel(R) Xeon(R) Gold 6330 CPU @ 2.00GHz でそれぞれ 11 秒、4 分 32 秒。

要約(オリジナル)

Irreducible Cartesian tensors (ICTs) play a crucial role in the design of equivariant graph neural networks, as well as in theoretical chemistry and chemical physics. Meanwhile, the design space of available linear operations on tensors that preserve symmetry presents a significant challenge. The ICT decomposition and a basis of this equivariant space are difficult to obtain for high-rank tensors. After decades of research, Bonvicini (2024) recently achieves an explicit ICT decomposition for $n=5$ with factorial time/space complexity. In this work we, for the first time, obtains decomposition matrices for ICTs up to rank $n=9$ with reduced and affordable complexity, by constructing what we call path matrices. The path matrices are obtained via performing chain-like contractions with Clebsch-Gordan matrices following the parentage scheme. We prove and leverage that the concatenation of path matrices is an orthonormal change-of-basis matrix between the Cartesian tensor product space and the spherical direct sum spaces. Furthermore, we identify a complete orthogonal basis for the equivariant space, rather than a spanning set (Pearce-Crump, 2023), through this path matrices technique. To the best of our knowledge, this is also the first analytic, rather than numerical, method for theoretically obtaining arbitrary rank orthogonal ICT decomposition matrices and orthogonal equivariant bases. We further extend our result to the arbitrary tensor product and direct sum spaces, enabling free design between different spaces while keeping symmetry. The Python code is available at https://github.com/ShihaoShao-GH/ICT-decomposition-and-equivariant-bases, where the $n=6,\dots,9$ ICT decomposition matrices are obtained in 1s, 3s, 11s, and 4m32s on 28-cores Intel(R) Xeon(R) Gold 6330 CPU @ 2.00GHz, respectively.

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