Exploiting Chordal Sparsity for Fast Global Optimality with Application to Localization

要約

近年、ロボット工学における多くの推定問題は、半定値緩和を使用して大域的最適性まで解決できることが示されています。
ただし、既製の半定値計画法 (SDP) ソルバーの実行時の複雑さは、問題のサイズが 3 乗に達するため、大きな状態次元を伴う問題のリアルタイム解決が妨げられます。
大きなクラスの問題、つまり弦のスパース性の問題については、これらのソルバーの複雑さを問題のサイズが線形に削減できることを示します。
特に、よく知られている弦分解を使用して、大きな正の半定変数を相互接続された多数の小さな変数に置き換える方法を示します。
この定式化により、並列処理を利用してスケーラビリティを向上できる、乗算器の交互方向法 (ADMM) の直接的な適用も可能になります。
シミュレーションにおける 2 つの問題例について、弦状ソルバーが標準 SDP ソルバーに比べて大幅な高速化を実現すること、および適切な初期化がない場合には全体的な最適性が重要であることを示します。

要約(オリジナル)

In recent years, many estimation problems in robotics have been shown to be solvable to global optimality using their semidefinite relaxations. However, the runtime complexity of off-the-shelf semidefinite programming (SDP) solvers is up to cubic in problem size, which inhibits real-time solutions of problems involving large state dimensions. We show that for a large class of problems, namely those with chordal sparsity, we can reduce the complexity of these solvers to linear in problem size. In particular, we show how to replace the large positive-semidefinite variable with a number of smaller interconnected ones using the well-known chordal decomposition. This formulation also allows for the straightforward application of the alternating direction method of multipliers (ADMM), which can exploit parallelism for increased scalability. We show for two example problems in simulation that the chordal solvers provide a significant speed-up over standard SDP solvers, and that global optimality is crucial in the absence of good initializations.

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