Pairwise Comparisons without Stochastic Transitivity: Model, Theory and Applications

要約

ブラッドリー・テリー (BT) モデルやサーストン モデルや多くの拡張機能を含む、ペアごとの比較のためのほとんどの統計モデルは、確率推移性を比較的強力に仮定しています。
この仮定は、すべてのプレーヤー/チーム/アイテム間に観測されていないグローバル ランキングの存在と、グローバル ランキングによって暗示される比較確率に対する単調な制約を課します。
ただし、確率的推移性の仮定は、ペアごとの比較の多くの現実世界のシナリオ、特に複数のスキルや戦略が関係するゲームでは当てはまりません。
結果として、この仮定に依存するモデルの予測パフォーマンスは最適ではない可能性があります。
この論文では、BT モデルとサーストン モデルを大幅に拡張する、確率推移性の仮定を持たないペアごとの比較データ用の一般的な統計モデルを提案します。
このモデルでは、ペアごとの確率は、(ほぼ) 低次元の歪対称行列によって決定されます。
尤度ベースの推定方法と計算アルゴリズムが開発され、観測されたペアのごく一部のみを含むまばらなデータが可能になります。
理論的分析により、提案された推定器がミニマックス レートの最適性を達成し、データのスパース レベルに効果的に適応することが示されています。
歪対称行列のスペクトル理論は、実装と理論解析において重要な役割を果たします。
提案された手法の BT モデルに対する優位性は、さまざまなシナリオにわたる幅広い適用可能性とともに、シミュレーションと実際のデータ分析によってさらに裏付けられています。

要約(オリジナル)

Most statistical models for pairwise comparisons, including the Bradley-Terry (BT) and Thurstone models and many extensions, make a relatively strong assumption of stochastic transitivity. This assumption imposes the existence of an unobserved global ranking among all the players/teams/items and monotone constraints on the comparison probabilities implied by the global ranking. However, the stochastic transitivity assumption does not hold in many real-world scenarios of pairwise comparisons, especially games involving multiple skills or strategies. As a result, models relying on this assumption can have suboptimal predictive performance. In this paper, we propose a general family of statistical models for pairwise comparison data without a stochastic transitivity assumption, substantially extending the BT and Thurstone models. In this model, the pairwise probabilities are determined by a (approximately) low-dimensional skew-symmetric matrix. Likelihood-based estimation methods and computational algorithms are developed, which allow for sparse data with only a small proportion of observed pairs. Theoretical analysis shows that the proposed estimator achieves minimax-rate optimality, which adapts effectively to the sparsity level of the data. The spectral theory for skew-symmetric matrices plays a crucial role in the implementation and theoretical analysis. The proposed method’s superiority against the BT model, along with its broad applicability across diverse scenarios, is further supported by simulations and real data analysis.

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