Using Linearized Optimal Transport to Predict the Evolution of Stochastic Particle Systems

要約

発展を支配する演算子を明示的に学習することなく、確率分布の時間発展を近似するアルゴリズムを開発します。
特に興味深い応用例は、$\mathbb R^d$ の $N$ 粒子系から生じる離散測度 $\mu_t^N$ です。
このような状況の多くでは、個々の粒子が短い時間スケールで無秩序に移動するため、支配演算子のダイナミクスを学習することが困難になりますが、バルク分布 $\mu_t^N$ は、進化する絶対連続測定 $\mu_t$ に近似します。
$\mu_t$ がある時間間隔で既知である場合、線形化された最適輸送理論は、その「接線ベクトル場」を使用して $\mu_t$ の発展を近似するためのオイラーのようなスキームを提供します。
($\mathbb R^d$ 上の時間依存ベクトル場として表されます)、最適なトランスポート マップの制限として計算できます。
離散測度 $\mu_t^N$ の発展を ($\mu_t$ を知ることなく) 予測するために、このオイラー近似の類似物を提案します。
類似の接線ベクトル場を近似するために、システムの 2 つの時間スケールの間にあるタイム ステップにわたる有限差分を使用します。この差分は、大きな $N$ 進化 ($\mu_t$) が出現するのに十分な長さですが、十分に短いものです。
オイラー スキームで使用される導関数オブジェクトを十分に近似します。
制限挙動の出現により、最適な輸送マップは、個々の粒子のより混沌とした動きではなく、バルク分布の滑らかな進化を記述するベクトル場に厳密に近似することが保証されます。
我々は、ガウス拡散と細胞走化性モデルという 2 つの例示的な例を用いてアプローチの有効性を実証し、我々の方法が比較的大きなステップにわたるバルク挙動の予測に成功することを示します。

要約(オリジナル)

We develop an algorithm to approximate the time evolution of a probability distribution without explicitly learning an operator that governs the evolution. A particular application of interest is discrete measures $\mu_t^N$ that arise from systems of $N$ particles in $\mathbb R^d$. In many such situations, the individual particles move chaotically on short time scales, making it difficult to learn the dynamics of a governing operator, but the bulk distribution $\mu_t^N$ approximates an absolutely continuous measure $\mu_t$ that evolves “smoothly.” If $\mu_t$ is known on some time interval, then linearized optimal transport theory provides an Euler-like scheme for approximating the evolution of $\mu_t$ using its “tangent vector field” (represented as a time-dependent vector field on $\mathbb R^d$), which can be computed as a limit of optimal transport maps. We propose an analog of this Euler approximation to predict the evolution of the discrete measure $\mu_t^N$ (without knowing $\mu_t$). To approximate the analogous tangent vector field, we use a finite difference over a time step that sits between two time scales of the system — long enough for a large-$N$ evolution ($\mu_t$) to emerge but short enough to satisfactorily approximate the derivative object used in the Euler scheme. The emergence of the limiting behavior ensures the optimal transport maps closely approximate the vector field describing the bulk distribution’s smooth evolution instead of the individual particles’ more chaotic movements. We demonstrate the efficacy of our approach with two illustrative examples, Gaussian diffusion and a cell chemotaxis model, and show that our method succeeds in predicting the bulk behavior over relatively large steps.

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