Unified Native Spaces in Kernel Methods

要約

正定値カーネルのパラメトリック・モデルは数多く存在し、統計学、機械学習、数値解析、近似理論など様々な分野で利用されている。通常、カーネルパラメータは、関連するプロセスの特定の特徴を示す。これらの特徴の中でも、（ソボレフ空間、平均二乗微分可能性、フラクタル次元の意味での）滑らかさ、コンパクトまたは大域的なサポート、および負の依存性（ホール効果）は、いくつかの理論的および応用的な分野にとって興味深いものである。本論文では、よく知られたカーネルを1つのパラメトリックなクラスに統合し、厳密なパラメタリゼーションあるいはパラメトリックな漸近法によって、それらを特殊なケースとして包含する。さらに、新しいカーネルに関連するRKHSとノルム等価なソボレフ空間を特徴付ける。副産物として、既存のクラスのカーネルに関連するソボレフ空間を推論する。新しいクラスの主な性質を説明し、このクラスがコンパクトサポートからグローバルサポートへどのように切り替えられるかを示し、カーネルが非自明区間上で負の値をとる特別なケースを提供する。したがって、提案するクラスのカーネルは、有名なMat’ernカーネルやWendlandカーネル、またホール効果を持つそれらの別名など、多くの特殊なケースを含む非常に豊かなHilbert空間の再現カーネルである。

要約(オリジナル)

There exists a plethora of parametric models for positive definite kernels, and their use is ubiquitous in disciplines as diverse as statistics, machine learning, numerical analysis, and approximation theory. Usually, the kernel parameters index certain features of an associated process. Amongst those features, smoothness (in the sense of Sobolev spaces, mean square differentiability, and fractal dimensions), compact or global supports, and negative dependencies (hole effects) are of interest to several theoretical and applied disciplines. This paper unifies a wealth of well-known kernels into a single parametric class that encompasses them as special cases, attained either by exact parameterization or through parametric asymptotics. We furthermore characterize the Sobolev space that is norm equivalent to the RKHS associated with the new kernel. As a by-product, we infer the Sobolev spaces that are associated with existing classes of kernels. We illustrate the main properties of the new class, show how this class can switch from compact to global supports, and provide special cases for which the kernel attains negative values over nontrivial intervals. Hence, the proposed class of kernel is the reproducing kernel of a very rich Hilbert space that contains many special cases, including the celebrated Mat\’ern and Wendland kernels, as well as their aliases with hole effects.

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