Geometric Freeze-Tag Problem

要約

私たちは、Arkin らによって導入されたフリーズタグ問題 (FTP) を研究します。
(SODA’02) では、最初にアクティブな 1 台のロボットから始めて、n 個のロボットのグループをアクティブにすることが目的です。
ロボットは $\mathbb{R}^d$ に配置されており、起動すると一定の速度で移動して他のロボットを目覚めさせます。
目標は、メイクスパンとして知られる最後のロボットを起動するのに必要な時間を最小限に抑えることです。
$\mathbb{R}^2$ と $\mathbb{R}^3$ の $l_1$ と $l_2$ ノルムの下でメイクスパンの新しい上限を確立します。
具体的には、$(\mathbb{R}^2, l_2)$ の以前の上限を $7.07r$ (Bonichon et al., DISC’24) から $5.064r$ に改善します。
$(\mathbb{R}^3, l_1)$ の場合、$13r$ のメイクスパン境界を導出します。これは、$(\mathbb{R}^3, l_2)$ の場合 $22.52r$ に変換されます。
ここで、$r$ は、指定された基準の下で最初にアクティブなロボットからのロボットの最大距離を示します。
私たちの知る限り、これらは $\mathbb{R}^3$ における FTP の最初のメイクスパン境界です。
さらに、ロボットが $(\mathbb{R}^2, l_2)$ の境界に沿って均等に分布している場合、$n$ ロボットの最大メイクスパンが必ずしも達成されるわけではないことを示します。
$(\mathbb{R}^3, l_2)$ でロボットが境界上にある特定の構成について FTP をさらに調査し、実用的なシナリオについての洞察を提供します。

要約(オリジナル)

We study the Freeze-Tag Problem (FTP), introduced by Arkin et al. (SODA’02), where the objective is to activate a group of n robots, starting from a single initially active robot. Robots are positioned in $\mathbb{R}^d$, and once activated, they move at a constant speed to wake up others. The goal is to minimize the time required to activate the last robot, known as the makespan. We establish new upper bounds for the makespan under the $l_1$ and $l_2$ norms in $\mathbb{R}^2$ and $\mathbb{R}^3$. Specifically, we improve the previous upper bound for $(\mathbb{R}^2, l_2)$ from $7.07r$ (Bonichon et al., DISC’24) to $5.064r$. For $(\mathbb{R}^3, l_1)$, we derive a makespan bound of $13r$, which translates to $22.52r$ for $(\mathbb{R}^3, l_2)$. Here, $r$ denotes the maximum distance of any robot from the initially active robot under the given norm. To our knowledge, these are the first makespan bounds for FTP in $\mathbb{R}^3$. Additionally, we show that the maximum makespan for $n$ robots is not necessarily achieved when robots are equally distributed along the boundary in $(\mathbb{R}^2, l_2)$. We further investigate FTP in $(\mathbb{R}^3, l_2)$ for specific configurations where robots lie on a boundary, providing insights into practical scenarios.

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