Optimal Bounds for Private Minimum Spanning Trees via Input Perturbation

要約

近似最小スパニング ツリー (MST) を非公開で公開する問題を研究します。
グラフ $G = (V, E, \vec{W})$ があるとします。ここで、$V$ は $n$ 個の頂点のセット、$E$ は $m$ 個の無向辺のセット、そして $ \vec{W
} \in \mathbb{R}^{|E|} $ はエッジ重みベクトルです。私たちの目標は、Sealfon が PODS 2016 で導入したように、エッジ重み差分プライバシーの下で近似 MST を公開することです。
$V$ と $E$ はパブリックとみなされ、重みベクトルはプライベートです。
隣接関係は、重み上の $\ell_\infty$-距離です。感度パラメーター $\Delta_\infty$ の場合、グラフ $ G = (V, E, \vec{W}) $ および $ G’ = (V,
E, \vec{W}’) $\|\vec{W}-\vec{W}’\|_\infty \leq \Delta_\infty$ の場合、$ は隣接します。
既存のプライベート MST アルゴリズムは、計算効率または精度のいずれかを犠牲にするというトレードオフに直面しています。
両方の利点を最大限に活かすことが可能であることを示します。重みベクトルをプライベートにするのに十分ではない入力の適切なランダム摂動により、非プライベート MST アルゴリズムの結果はプライベートになり、次の状態が達成されます。
最先端のエラー保証。
さらに、Private Top-k Selection [Steinke and Ullman、FOCS ’17] への接続を確立することにより、近似差分プライバシーの下で MST に最初のプライバシーとユーティリティのトレードオフの下限を与え、誤差の大きさ $\tilde が次のことを示します。
{O}(n^{3/2})$ は対数因数まで最適です。
つまり、私たちのアプローチは、非プライベート MST アルゴリズムの時間計算量と一致し、同時に最適なエラーを実現します。
私たちは、アプローチの実用性を確認する実験によって理論的処理を補完します。

要約(オリジナル)

We study the problem of privately releasing an approximate minimum spanning tree (MST). Given a graph $G = (V, E, \vec{W})$ where $V$ is a set of $n$ vertices, $E$ is a set of $m$ undirected edges, and $ \vec{W} \in \mathbb{R}^{|E|} $ is an edge-weight vector, our goal is to publish an approximate MST under edge-weight differential privacy, as introduced by Sealfon in PODS 2016, where $V$ and $E$ are considered public and the weight vector is private. Our neighboring relation is $\ell_\infty$-distance on weights: for a sensitivity parameter $\Delta_\infty$, graphs $ G = (V, E, \vec{W}) $ and $ G’ = (V, E, \vec{W}’) $ are neighboring if $\|\vec{W}-\vec{W}’\|_\infty \leq \Delta_\infty$. Existing private MST algorithms face a trade-off, sacrificing either computational efficiency or accuracy. We show that it is possible to get the best of both worlds: With a suitable random perturbation of the input that does not suffice to make the weight vector private, the result of any non-private MST algorithm will be private and achieves a state-of-the-art error guarantee. Furthermore, by establishing a connection to Private Top-k Selection [Steinke and Ullman, FOCS ’17], we give the first privacy-utility trade-off lower bound for MST under approximate differential privacy, demonstrating that the error magnitude, $\tilde{O}(n^{3/2})$, is optimal up to logarithmic factors. That is, our approach matches the time complexity of any non-private MST algorithm and at the same time achieves optimal error. We complement our theoretical treatment with experiments that confirm the practicality of our approach.

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