Finite-PINN: A Physics-Informed Neural Network Architecture for Solving Solid Mechanics Problems with General Geometries

要約

PINN モデルは、流体偏微分方程式問題への対処において優れた能力を実証しており、固体力学におけるその可能性が明らかになり始めています。
この研究では、PINN を使用して一般的な固体力学問題を解決する際の 2 つの重要な課題を特定します。
これらの課題は、PINN の限界を、有限要素法 (FEM) などの固体力学で一般的に使用される確立された数値手法と比較すると明らかになります。
具体的には: a) PINN モデルは無限領域にわたる解を生成しますが、これはほとんどの固体構造に典型的な有限境界と矛盾します。
b) PINN によって利用される解空間はユークリッドであり、固体構造によく存在する複雑な幾何学的形状に対処するには不十分です。
この研究では、有限 PINN モデルと呼ばれる、一般的な固体力学問題に使用される PINN アーキテクチャを提案しています。
提案されたモデルは、PINN の元の実装を可能な限り維持しながら、これら 2 つの課題に効果的に対処することを目的としています。
Finite-PINN モデルの独自のアーキテクチャは、応力フィールドと変位フィールドの近似を分離し、解空間を従来のユークリッド空間からユークリッド トポロジカル結合空間に変換することで、これらの課題に対処します。
このホワイトペーパーで紹介するいくつかのケーススタディは、有限 PINN モデルが 2D と 3D の両方のコンテキストで、順問題と逆問題の両方を含むさまざまな種類の問題に対して満足のいく結果を提供することを示しています。
開発された Finite-PINN モデルは、一般的な固体力学の問題、特に現在の研究ではまだ十分に調査されていない問題に対処するための有望なツールを提供します。

要約(オリジナル)

PINN models have demonstrated impressive capabilities in addressing fluid PDE problems, and their potential in solid mechanics is beginning to emerge. This study identifies two key challenges when using PINN to solve general solid mechanics problems. These challenges become evident when comparing the limitations of PINN with the well-established numerical methods commonly used in solid mechanics, such as the finite element method (FEM). Specifically: a) PINN models generate solutions over an infinite domain, which conflicts with the finite boundaries typical of most solid structures; and b) the solution space utilised by PINN is Euclidean, which is inadequate for addressing the complex geometries often present in solid structures. This work proposes a PINN architecture used for general solid mechanics problems, termed the Finite-PINN model. The proposed model aims to effectively address these two challenges while preserving as much of the original implementation of PINN as possible. The unique architecture of the Finite-PINN model addresses these challenges by separating the approximation of stress and displacement fields, and by transforming the solution space from the traditional Euclidean space to a Euclidean-topological joint space. Several case studies presented in this paper demonstrate that the Finite-PINN model provides satisfactory results for a variety of problem types, including both forward and inverse problems, in both 2D and 3D contexts. The developed Finite-PINN model offers a promising tool for addressing general solid mechanics problems, particularly those not yet well-explored in current research.

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