Effective Rank and the Staircase Phenomenon: New Insights into Neural Network Training Dynamics

要約

近年、ニューラル ネットワークを利用したディープ ラーニングは、高次元の問題、特に低次元の特徴構造を持つ問題の解決において広く成功を収めています。
この成功は、問題に合わせた低次元の特徴を特定して学習する能力に由来しています。
ニューラル ネットワークがトレーニング ダイナミクス中にそのような特徴をどのように抽出するかを理解することは、深層学習理論における基本的な問題のままです。
この研究では、ニューラル ネットワークの最後の隠れ層にあるニューロンを、本質的な特徴を表す基底関数として解釈することにより、新しい視点を提案します。
深層学習ダイナミクス全体にわたってこれらの基底関数の線形独立性を調査するために、「有効ランク」の概念を導入します。
私たちの広範な数値実験により、注目すべき現象が明らかになりました。つまり、有効ランクが学習プロセス中に徐々に増加し、階段状のパターンを示す一方で、有効ランクが上昇するにつれて損失関数が同時に減少します。
この観察を「階段現象」と呼びます。
具体的には、ディープ ニューラル ネットワークについて、損失関数と有効ランクの間の負の相関関係を厳密に証明し、有効ランクが増加するにつれて損失関数の下限が減少することを示しています。
したがって、損失関数の急速な下降を達成するには、有効ランクの迅速な成長を促進することが重要です。
最終的に、既存の高度な学習方法論を評価し、これらのアプローチがより高い有効ランクを迅速に達成できるため、冗長な階段プロセスが回避され、損失関数の急速な低下が加速されることがわかりました。

要約(オリジナル)

In recent years, deep learning, powered by neural networks, has achieved widespread success in solving high-dimensional problems, particularly those with low-dimensional feature structures. This success stems from their ability to identify and learn low dimensional features tailored to the problems. Understanding how neural networks extract such features during training dynamics remains a fundamental question in deep learning theory. In this work, we propose a novel perspective by interpreting the neurons in the last hidden layer of a neural network as basis functions that represent essential features. To explore the linear independence of these basis functions throughout the deep learning dynamics, we introduce the concept of ‘effective rank’. Our extensive numerical experiments reveal a notable phenomenon: the effective rank increases progressively during the learning process, exhibiting a staircase-like pattern, while the loss function concurrently decreases as the effective rank rises. We refer to this observation as the ‘staircase phenomenon’. Specifically, for deep neural networks, we rigorously prove the negative correlation between the loss function and effective rank, demonstrating that the lower bound of the loss function decreases with increasing effective rank. Therefore, to achieve a rapid descent of the loss function, it is critical to promote the swift growth of effective rank. Ultimately, we evaluate existing advanced learning methodologies and find that these approaches can quickly achieve a higher effective rank, thereby avoiding redundant staircase processes and accelerating the rapid decline of the loss function.

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