Dirac-Equation Signal Processing: Physics Boosts Topological Machine Learning

要約

トポロジ信号は、ネットワークのノードとエッジの両方に関連付けられた変数または特徴です。
最近、トポロジカル機械学習の文脈において、そのようなトポロジカル信号の信号処理に大きな注目が集まっています。
以前のトポロジカル信号処理アルゴリズムのほとんどは、ノード信号とエッジ信号を別々に扱い、真の信号が滑らかである、および/またはホッジ ラプラシアンの調和固有ベクトルによってよく近似されているという仮説に基づいて動作しますが、実際には違反される可能性があります。
ここでは、ノードとエッジ上の真の信号を、それらが滑らかまたは調和的でない場合でも、それらを共同処理することによって効率的に再構築するためのフレームワークである、ディラック方程式信号処理を提案します。
提案された物理学にヒントを得たアルゴリズムは、トポロジカル ディラック演算子のスペクトル特性に基づいています。
トポロジカル ディラック方程式の数学的構造を活用して、信号処理アルゴリズムのパフォーマンスを向上させます。
トポロジカルなディラック方程式に従う相対論的分散関係を信号再構成の品質を評価するためにどのように使用できるかについて説明します。
最後に、以前のアルゴリズムと比較してアルゴリズムのパフォーマンスが向上していることを示します。
具体的には、実際の信号で一般に発生するように、真の信号がディラック方程式の複数の固有状態の非自明な線形結合である場合にも、ディラック方程式信号処理を効率的に使用できることを示します。

要約(オリジナル)

Topological signals are variables or features associated with both nodes and edges of a network. Recently, in the context of Topological Machine Learning, great attention has been devoted to signal processing of such topological signals. Most of the previous topological signal processing algorithms treat node and edge signals separately and work under the hypothesis that the true signal is smooth and/or well approximated by a harmonic eigenvector of the Hodge-Laplacian, which may be violated in practice. Here we propose Dirac-equation signal processing, a framework for efficiently reconstructing true signals on nodes and edges, also if they are not smooth or harmonic, by processing them jointly. The proposed physics-inspired algorithm is based on the spectral properties of the topological Dirac operator. It leverages the mathematical structure of the topological Dirac equation to boost the performance of the signal processing algorithm. We discuss how the relativistic dispersion relation obeyed by the topological Dirac equation can be used to assess the quality of the signal reconstruction. Finally, we demonstrate the improved performance of the algorithm with respect to previous algorithms. Specifically, we show that Dirac-equation signal processing can also be used efficiently if the true signal is a non-trivial linear combination of more than one eigenstate of the Dirac equation, as it generally occurs for real signals.

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