A Riemannian Take on Distance Fields and Geodesic Flows in Robotics

要約

距離関数は、ロボットと環境の間の空間関係を表現するためにロボット工学において重要です。
これは、制御、最適化、学習技術とシームレスに組み合わせることができる、連続的で微分可能な形状の暗黙的な表現を提供します。
標準的な距離フィールドはユークリッド計量に依存していますが、多くのロボット タスクには本質的に非ユークリッド構造が含まれます。
この目的を達成するために、リーマンのエイコーナル方程式である一次偏微分方程式を解くことにより、ユークリッド距離場の使用をより一般的な計量空間に一般化します。その解は多様体上の距離場とそれに関連する勾配流を定義し、計算を可能にします。
測地線とグローバルに長さを最小化するパスの調整。
この \emph{測地線距離フィールド} はロボット構成空間でも利用できることを示します。
この概念を実現するために、物理学に基づいたニューラル ネットワークを利用して高次元空間のアイコナール方程式を解き、離散化を必要とせずに柔軟でスケーラブルな表現を提供します。
さらに、ニューラル アイコナル ソルバーのバリアントが導入され、これにより、勾配フローがタスク空間と構成空間の両方に渡って進行できるようになります。
応用例として、エネルギーを意識した運動生成タスクで提案されたアプローチを検証します。
これは、ロボットのダイナミクスの特性を効果的に考慮して、構成空間内のリーマン計量によって定義される多様体を考慮することによって実現されます。
私たちのアプローチは、勾配流逆伝播を通じて測地線を反復的に追跡することにより、7 軸 Franka ロボットの最小エネルギー軌道を生成します。

要約(オリジナル)

Distance functions are crucial in robotics for representing spatial relationships between the robot and the environment. It provides an implicit representation of continuous and differentiable shapes, which can seamlessly be combined with control, optimization, and learning techniques. While standard distance fields rely on the Euclidean metric, many robotic tasks inherently involve non-Euclidean structures. To this end, we generalize the use of Euclidean distance fields to more general metric spaces by solving a Riemannian eikonal equation, a first-order partial differential equation, whose solution defines a distance field and its associated gradient flow on the manifold, enabling the computation of geodesics and globally length-minimizing paths. We show that this \emph{geodesic distance field} can also be exploited in the robot configuration space. To realize this concept, we exploit physics-informed neural networks to solve the eikonal equation for high-dimensional spaces, which provides a flexible and scalable representation without the need for discretization. Furthermore, a variant of our neural eikonal solver is introduced, which enables the gradient flow to march across both task and configuration spaces. As an example of application, we validate the proposed approach in an energy-aware motion generation task. This is achieved by considering a manifold defined by a Riemannian metric in configuration space, effectively taking the property of the robot’s dynamics into account. Our approach produces minimal-energy trajectories for a 7-axis Franka robot by iteratively tracking geodesics through gradient flow backpropagation.

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