Classical Shadows with Improved Median-of-Means Estimation

要約

Huang らによって導入された古典的なシャドウ プロトコル。
[ナット。
物理学。
16, 1050 (2020)] は、平均値中央値 (MoM) 推定量を利用して、$\mathcal{O}(\log のみを使用して失敗確率 $\delta$ を持つ $M$ 観測量の期待値を効率的に推定します。
(M/\delta))$ の測定値。
Huangらは分析の中で、
簡略化するために、漸近的なパフォーマンス限界内で緩やかな定数を使用しました。
ただし、これらの定数の特定の値は、実際の実装で使用されるショットの数に大きく影響する可能性があります。
これに対処するために、私たちは Minsker [PMLR 195, 5925 (2023)] によって提案された、最適な定数を使用し、データセットに対する U 統計を含む修正 MoM 推定量を研究しました。
効率的な推定を行うために、2 種類の不完全 U 統計推定器を実装しました。1 つ目はランダム サンプリングに基づき、2 つ目は周期的に並べ替えたサンプリングに基づきます。
イジングスピンチェーンの単一量子ビットクリフォードユニタリー（パウリ測定）とグリーンバーガー・ホーン・ツァイリンジャー（GHZ）のグローバルクリフォードユニタリー（クリフォード測定）を使用した古典的なシャドウプロトコルで使用した場合の、元の推定量と変更された推定量のパフォーマンスを比較しました。
） 州。
パウリ測定では元の推定量が修正推定量を上回りましたが、クリフォード測定では修正推定量の方が元の推定量よりもパフォーマンスが向上しました。
私たちの調査結果は、実際のアプリケーションで古典的なシャドウプロトコルのパフォーマンスを最適化するには、推定器を特定の測定設定に合わせて調整することの重要性を強調しています。

要約(オリジナル)

The classical shadows protocol, introduced by Huang et al. [Nat. Phys. 16, 1050 (2020)], makes use of the median-of-means (MoM) estimator to efficiently estimate the expectation values of $M$ observables with failure probability $\delta$ using only $\mathcal{O}(\log(M/\delta))$ measurements. In their analysis, Huang et al. used loose constants in their asymptotic performance bounds for simplicity. However, the specific values of these constants can significantly affect the number of shots used in practical implementations. To address this, we studied a modified MoM estimator proposed by Minsker [PMLR 195, 5925 (2023)] that uses optimal constants and involves a U-statistic over the data set. For efficient estimation, we implemented two types of incomplete U-statistics estimators, the first based on random sampling and the second based on cyclically permuted sampling. We compared the performance of the original and modified estimators when used with the classical shadows protocol with single-qubit Clifford unitaries (Pauli measurements) for an Ising spin chain, and global Clifford unitaries (Clifford measurements) for the Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) state. While the original estimator outperformed the modified estimators for Pauli measurements, the modified estimators showed improved performance over the original estimator for Clifford measurements. Our findings highlight the importance of tailoring estimators to specific measurement settings to optimize the performance of the classical shadows protocol in practical applications.

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