Gaussian Process Priors for Boundary Value Problems of Linear Partial Differential Equations

要約

偏微分方程式 (PDE) 系の解法は計算科学の基本的なタスクであり、伝統的に数値ソルバーによって対処されてきました。
最近の進歩により、偏微分方程式に取り組むニューラル オペレーターと物理情報に基づくニューラル ネットワーク (PINN) が導入され、ソリューションの品質と精度を犠牲にして計算コストの削減が達成されました。
ガウス過程 (GP) は線形偏微分方程式にも適用されており、常に正確な解が得られるという利点があります。
この研究では、定数係数を持つ線形偏微分方程式の一般系と線形境界条件の両方を満たす GP 事前分布を構築するための新しいフレームワークである境界エーレンプレイス・パラモドフ ガウス過程 (B-EPGP) を提案します。
実用的な境界条件を使用して、代表的な PDE 系の GP 事前分布を明示的に構築します。
正確さの正式な証明が提供され、最先端のニューラル オペレーター アプローチと比較して大幅な精度の向上を実証する経験的な結果が提供されます。

要約(オリジナル)

Solving systems of partial differential equations (PDEs) is a fundamental task in computational science, traditionally addressed by numerical solvers. Recent advancements have introduced neural operators and physics-informed neural networks (PINNs) to tackle PDEs, achieving reduced computational costs at the expense of solution quality and accuracy. Gaussian processes (GPs) have also been applied to linear PDEs, with the advantage of always yielding precise solutions. In this work, we propose Boundary Ehrenpreis-Palamodov Gaussian Processes (B-EPGPs), a novel framework for constructing GP priors that satisfy both general systems of linear PDEs with constant coefficients and linear boundary conditions. We explicitly construct GP priors for representative PDE systems with practical boundary conditions. Formal proofs of correctness are provided and empirical results demonstrating significant accuracy improvements over state-of-the-art neural operator approaches.

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