Bring the Heat: Rapid Trajectory Optimization with Pseudospectral Techniques and the Affine Geometric Heat Flow Equation

要約

制約を遵守しながら、時間効率の高い方法で高次元ロボット システムの最適な軌道を生成することは、困難な作業です。
この課題に対処するために、この論文では PHLAME を紹介します。これは、擬似スペクトル コロケーションと空間ベクトル代数を適用して、軌道最適化のためのアフィン幾何熱流 (AGHF) 偏微分方程式 (PDE) を効率的に解きます。
状態空間全体にわたる関数を解くハミルトン・ヤコビ・ベルマン (HJB) PDE のような従来の PDE アプローチとは異なり、AGHF PDE の解を計算すると、その解が 2 次元領域にわたって定義されるため、より効率的にスケーリングされます。
状態空間のスケーリングの困難さを回避します。
AGHF を解くには、通常、ライン法 (MOL) を適用します。これは、AGHF PDE の 1 つの変数を離散化し、PDE を標準の時間積分法を使用して解くことができる常微分方程式 (ODE) 系に効果的に変換することによって機能します。
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この方法は強力ですが、正確な解を生成するには細かい離散化が必要であり、高次元システムでは計算コストが高くなる可能性がある AGHF PDE を評価する必要もあります。
PHLAME は、擬似スペクトル法を使用することでこの欠点を克服し、高精度のソリューションを生成するために必要な関数評価の数を減らし、高次元のロボット システムに効率的に拡張できるようにします。
計算速度をさらに向上させるために、この論文では、AGHF とそのヤコビアンの解析式を紹介します。どちらも剛体ダイナミクス アルゴリズムを使用して効率的に計算できます。
提案された方法 PHLAME は、障害物の有無にかかわらず、さまざまな力学システムにわたってテストされ、多くの最先端技術と比較されます。
PHLAME は、$\sim3$ 秒で 44 次元状態空間システムの軌道を生成します。これは、現在の最先端技術よりもはるかに高速です。

要約(オリジナル)

Generating optimal trajectories for high-dimensional robotic systems in a time-efficient manner while adhering to constraints is a challenging task. To address this challenge, this paper introduces PHLAME, which applies pseudospectral collocation and spatial vector algebra to efficiently solve the Affine Geometric Heat Flow (AGHF) Partial Differential Equation (PDE) for trajectory optimization. Unlike traditional PDE approaches like the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) PDE, which solve for a function over the entire state space, computing a solution to the AGHF PDE scales more efficiently because its solution is defined over a two-dimensional domain, thereby avoiding the intractability of state-space scaling. To solve the AGHF one usually applies the Method of Lines (MOL), which works by discretizing one variable of the AGHF PDE, effectively converting the PDE into a system of ordinary differential equations (ODEs) that can be solved using standard time-integration methods. Though powerful, this method requires a fine discretization to generate accurate solutions and still requires evaluating the AGHF PDE which can be computationally expensive for high-dimensional systems. PHLAME overcomes this deficiency by using a pseudospectral method, which reduces the number of function evaluations required to yield a high accuracy solution thereby allowing it to scale efficiently to high-dimensional robotic systems. To further increase computational speed, this paper presents analytical expressions for the AGHF and its Jacobian, both of which can be computed efficiently using rigid body dynamics algorithms. The proposed method PHLAME is tested across various dynamical systems, with and without obstacles and compared to a number of state-of-the-art techniques. PHLAME generates trajectories for a 44-dimensional state-space system in $\sim3$ seconds, much faster than current state-of-the-art techniques.

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