Testing classical properties from quantum data

要約

ブール関数の多くのプロパティは、関数を学習するよりもはるかに効率的にテストできます。
ただし、テスターがクエリではなくランダム サンプル (データ サイエンスの自然な設定) に限定されている場合、この利点は失われることがよくあります。
この研究では、このシナリオの量子バージョン、つまり $f$ の関数状態のコピーの形式の量子データのみから関数 $f$ のプロパティをテストする量子アルゴリズムを調査します。
3 つの十分に確立された特性について、古典的なテスターをサンプルに制限したときに失われた速度向上は、量子データを使用するテスターに​​よって回復できることを示します。
単調性テストの場合、必要な $2^{\Omega(\sqrt{n})}$ サンプルと比較して、$\tilde{\mathcal{O}}(n^2)$ 関数の状態コピーを使用する量子アルゴリズムを提供します。
古典的に。
また、$\Omega(n^{1/4})$ および $\Omega(n) の古典的な下限と有利に比較する、対称性と三角形フリー性の $\mathcal{O}(1)$ コピー テスターも提示します。
それぞれ $ サンプル。
これらのアルゴリズムは時間効率が高く、以前のテスト問題に適用されたフーリエ サンプリング アプローチを超える技術が必然的に含まれています。
これらの結果は、テスト用の量子データによってもたらされる利点についての一般的な研究の根拠となります。
私たちは、近接領域 $\varepsilon\leq\mathcal{O}(n^{-
3/2})$。
これは、量子データからの単調性のテストと量子クエリからの単調性のテストが厳密に分離されていることを意味します。$\varepsilon=\Theta(n^{-3/2} の場合、$\tilde{\mathcal{O}}(n)$ クエリで十分です。
)$。
また、$\mathcal{O}(1)$ の古典的なクエリから解決できるテスト問題も示しますが、$\Omega(2^{n/2})$ 関数の状態コピーが必要であり、同じ大きさの分離を補完します。
相関関係問題から導き出された逆の方向。

要約(オリジナル)

Many properties of Boolean functions can be tested far more efficiently than the function can be learned. However, this advantage often disappears when testers are limited to random samples–a natural setting for data science–rather than queries. In this work we investigate the quantum version of this scenario: quantum algorithms that test properties of a function $f$ solely from quantum data in the form of copies of the function state for $f$. For three well-established properties, we show that the speedup lost when restricting classical testers to samples can be recovered by testers that use quantum data. For monotonicity testing, we give a quantum algorithm that uses $\tilde{\mathcal{O}}(n^2)$ function state copies as compared to the $2^{\Omega(\sqrt{n})}$ samples required classically. We also present $\mathcal{O}(1)$-copy testers for symmetry and triangle-freeness, comparing favorably to classical lower bounds of $\Omega(n^{1/4})$ and $\Omega(n)$ samples respectively. These algorithms are time-efficient and necessarily include techniques beyond the Fourier sampling approaches applied to earlier testing problems. These results make the case for a general study of the advantages afforded by quantum data for testing. We contribute to this project by complementing our upper bounds with a lower bound of $\Omega(1/\varepsilon)$ for monotonicity testing from quantum data in the proximity regime $\varepsilon\leq\mathcal{O}(n^{-3/2})$. This implies a strict separation between testing monotonicity from quantum data and from quantum queries–where $\tilde{\mathcal{O}}(n)$ queries suffice when $\varepsilon=\Theta(n^{-3/2})$. We also exhibit a testing problem that can be solved from $\mathcal{O}(1)$ classical queries but requires $\Omega(2^{n/2})$ function state copies, complementing a separation of the same magnitude in the opposite direction derived from the Forrelation problem.

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