Learning efficient and provably convergent splitting methods

要約

分割法は、効率的かつ正確に解決できる、より管理しやすい部分問題への複雑な展開を単純化できるため、初期値問題 (IVP) を解くために広く使用されています。
伝統的に、これらの方法は、切り詰められたテイラー級数とそのリー代数類似物であるベイカー-キャンベル-ハウスドルフの公式などの数値解析からの解析および代数技術を使用して導出されます。
これらのツールを使用すると、小さなタイムステップで優れた精度を提供する高次の数値手法の開発が可能になります。
さらに、これらの方法では、質量、単位性、エネルギーなどの重要な物理的不変量が（ほぼ）保存されることがよくあります。
ただし、多くの実際のアプリケーションでは、計算リソースは限られています。
したがって、比較的大きなタイムステップを必要とする可能性がある、固定された計算予算内で最高の精度を達成する方法を特定することが重要です。
この領域では、従来の方法で導出された高次の方法は、漸近的に最適になるようにのみ設計されているため、大きな誤差を示すことがよくあります。
機械学習技術は、少ない計算リソースで特定の IVP を効率的に解決するようにトレーニングできるため、潜在的な解決策を提供します。
ただし、これらは純粋にデータ駆動型であることが多く、小さなタイムステップ領域での収束保証には限界があり、必ずしも物理的な不変量が保存されるわけではありません。
この研究では、大きなタイムステップで計算効率が高く、小さなタイムステップ制限で証明可能な収束と保存が保証される、機械学習された分割方法を見つけるためのフレームワークを提案します。
計算予算が限られている場合、タイムステップ サイズで二次関数的に収束する学習済みの手法は、シュディンガー方程式の確立された手法よりも大幅に効率的であることを数値的に示します。

要約(オリジナル)

Splitting methods are widely used for solving initial value problems (IVPs) due to their ability to simplify complicated evolutions into more manageable subproblems which can be solved efficiently and accurately. Traditionally, these methods are derived using analytic and algebraic techniques from numerical analysis, including truncated Taylor series and their Lie algebraic analogue, the Baker–Campbell–Hausdorff formula. These tools enable the development of high-order numerical methods that provide exceptional accuracy for small timesteps. Moreover, these methods often (nearly) conserve important physical invariants, such as mass, unitarity, and energy. However, in many practical applications the computational resources are limited. Thus, it is crucial to identify methods that achieve the best accuracy within a fixed computational budget, which might require taking relatively large timesteps. In this regime, high-order methods derived with traditional methods often exhibit large errors since they are only designed to be asymptotically optimal. Machine Learning techniques offer a potential solution since they can be trained to efficiently solve a given IVP with less computational resources. However, they are often purely data-driven, come with limited convergence guarantees in the small-timestep regime and do not necessarily conserve physical invariants. In this work, we propose a framework for finding machine learned splitting methods that are computationally efficient for large timesteps and have provable convergence and conservation guarantees in the small-timestep limit. We demonstrate numerically that the learned methods, which by construction converge quadratically in the timestep size, can be significantly more efficient than established methods for the Schr\'{o}dinger equation if the computational budget is limited.

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