Physics-informed Discretization-independent Deep Compositional Operator Network

要約

広範囲のパラメーターに対してパラメトリック偏微分方程式 (PDE) を解くことは、科学計算における重要な課題です。
この目的のために、\textcolor{black}{変数 PDE パラメーター入力を使用して PDE 解を予測する}ニューラル演算子がうまく使用されてきました。
ただし、ニューラル オペレーターのトレーニングには通常、大規模なトレーニング データセットが必要であり、その取得には法外に費用がかかる場合があります。
この課題に対処するために、物理学に基づいたトレーニングは費用対​​効果の高い戦略を提供できます。
しかし、現在の物理学に基づいたニューラル オペレーターは、不規則なドメイン形状の処理、または PDE パラメータのさまざまな離散表現への一般化において限界に直面しています。
この研究では、PDE パラメーターと不規則なドメイン形状のさまざまな離散表現に一般化できる、新しい物理学に基づいたモデル アーキテクチャを導入します。
特に、ディープオペレーターニューラルネットワークからインスピレーションを得た私たちのモデルには、パラメータ埋め込みの離散化に依存しない学習が繰り返し含まれており、このパラメータ埋め込みは、より多くの表現力を得るために、複数の構成層を介して応答埋め込みと統合されています。
数値結果は、提案された方法の精度と効率を示しています。
この作業に関連するすべてのコードとデータは、GitHub: https://github.com/WeihengZ/PI-DCON で入手できます。

要約(オリジナル)

Solving parametric Partial Differential Equations (PDEs) for a broad range of parameters is a critical challenge in scientific computing. To this end, neural operators, which \textcolor{black}{predicts the PDE solution with variable PDE parameter inputs}, have been successfully used. However, the training of neural operators typically demands large training datasets, the acquisition of which can be prohibitively expensive. To address this challenge, physics-informed training can offer a cost-effective strategy. However, current physics-informed neural operators face limitations, either in handling irregular domain shapes or in in generalizing to various discrete representations of PDE parameters. In this research, we introduce a novel physics-informed model architecture which can generalize to various discrete representations of PDE parameters and irregular domain shapes. Particularly, inspired by deep operator neural networks, our model involves a discretization-independent learning of parameter embedding repeatedly, and this parameter embedding is integrated with the response embeddings through multiple compositional layers, for more expressivity. Numerical results demonstrate the accuracy and efficiency of the proposed method. All the codes and data related to this work are available on GitHub: https://github.com/WeihengZ/PI-DCON.

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