Efficient Hamiltonian, structure and trace distance learning of Gaussian states

要約

この研究では、正温度ボソン ガウス状態のハミルトニアン学習、つまり広く研究されているガウス グラフィカル モデル学習の問題の量子一般化の研究を開始します。
我々は、相互作用グラフの有界温度、圧縮、変位および最大次数の仮定の下で、基礎となる二次ハミルトニアンのパラメータを推論するタスクに対して、サンプルおよび計算の複雑さの両方において効率的なプロトコルを取得します。
私たちのプロトコルではヘテロダイン測定のみが必要ですが、これは多くの場合実験的に実現可能であり、モードの数に応じて対数的にスケールされるサンプルの複雑さがあります。
さらに、同様の設定とサンプルの複雑さで基礎となる相互作用グラフを学習できることを示します。
まとめると、私たちの結果は、最先端の結果が利用できないか、量的に私たちの結果よりも劣っているスピンと比較した場合、連続変数システムの量子ハミルトニアン学習問題の状況をはるかに進んだ状態にあることを示しています。
さらに、私たちは、ガウス状態に一定の制限を課しながらも、精度の二次スケーリングとモード数の多項式を使用した微量距離でのガウス状態の学習に関する最初の結果を得るために、私たちの技術を使用しました。
私たちの主な技術革新は、ガウス状態の共分散とハミルトニアン行列のいくつかの連続限界であり、これらは独立して関心があり、局所反転手法と呼ばれるものと組み合わせられています。
本質的に、局所反転手法を使用すると、モードの数ではなく、サイズが必要な精度でスケールする共分散行列の部分行列を並列で推定するだけで、ガウス状態のハミルトニアンを確実に推論できます。
このようにして、共分散行列の正確なグローバル推定値を取得する必要性を回避し、サンプルの複雑さを制御します。

要約(オリジナル)

In this work, we initiate the study of Hamiltonian learning for positive temperature bosonic Gaussian states, the quantum generalization of the widely studied problem of learning Gaussian graphical models. We obtain efficient protocols, both in sample and computational complexity, for the task of inferring the parameters of their underlying quadratic Hamiltonian under the assumption of bounded temperature, squeezing, displacement and maximal degree of the interaction graph. Our protocol only requires heterodyne measurements, which are often experimentally feasible, and has a sample complexity that scales logarithmically with the number of modes. Furthermore, we show that it is possible to learn the underlying interaction graph in a similar setting and sample complexity. Taken together, our results put the status of the quantum Hamiltonian learning problem for continuous variable systems in a much more advanced state when compared to spins, where state-of-the-art results are either unavailable or quantitatively inferior to ours. In addition, we use our techniques to obtain the first results on learning Gaussian states in trace distance with a quadratic scaling in precision and polynomial in the number of modes, albeit imposing certain restrictions on the Gaussian states. Our main technical innovations are several continuity bounds for the covariance and Hamiltonian matrix of a Gaussian state, which are of independent interest, combined with what we call the local inversion technique. In essence, the local inversion technique allows us to reliably infer the Hamiltonian of a Gaussian state by only estimating in parallel submatrices of the covariance matrix whose size scales with the desired precision, but not the number of modes. This way we bypass the need to obtain precise global estimates of the covariance matrix, controlling the sample complexity.

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