Basis-to-Basis Operator Learning Using Function Encoders

要約

関数エンコーダの基本的な考え方に基づいて、関数のヒルベルト空間上の演算子を学習するための新しいアプローチである、Basis-to-Basis (B2B) 演算子学習を紹介します。
演算子を学習するタスクを 2 つの部分に分解します。入力空間と出力空間の両方の基底関数のセットを学習することと、基底関数の係数間の潜在的な非線形マッピングを学習することです。
B2B オペレーターの学習では、最小二乗法などの古典的な手法を利用して係数を計算することで、データを固定位置に置く必要があるなど、これまでの課題の多くが回避されます。
これは、閉形式の解を使用した単一の行列変換として基底間のマッピングを計算する線形演算子で特に強力です。
さらに、最小限の変更と関数エンコーダと関数解析の間の深い理論的つながりを使用して、固有値分解と特異値分解に直接類似した演算子学習アルゴリズムを導き出します。
7 つのベンチマーク オペレーター学習タスクで B2B オペレーターの学習を経験的に検証し、いくつかのベンチマーク タスクで既存のアプローチと比べて精度が 2 桁向上することを示します。

要約(オリジナル)

We present Basis-to-Basis (B2B) operator learning, a novel approach for learning operators on Hilbert spaces of functions based on the foundational ideas of function encoders. We decompose the task of learning operators into two parts: learning sets of basis functions for both the input and output spaces and learning a potentially nonlinear mapping between the coefficients of the basis functions. B2B operator learning circumvents many challenges of prior works, such as requiring data to be at fixed locations, by leveraging classic techniques such as least squares to compute the coefficients. It is especially potent for linear operators, where we compute a mapping between bases as a single matrix transformation with a closed-form solution. Furthermore, with minimal modifications and using the deep theoretical connections between function encoders and functional analysis, we derive operator learning algorithms that are directly analogous to eigen-decomposition and singular value decomposition. We empirically validate B2B operator learning on seven benchmark operator learning tasks and show that it demonstrates a two-orders-of-magnitude improvement in accuracy over existing approaches on several benchmark tasks.

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