GRINNs: Godunov-Riemann Informed Neural Networks for Learning Hyperbolic Conservation Laws

要約

我々は、保存則の非線形系の逆問題を解決するための数値解析に基づいたニューラル ネットワークである GRINN を紹介します。
GRINN は、双曲偏微分方程式 (PDE) のリーマン問題を解くための高解像度の Godunov スキームに基づいています。
保守的な有限体積法の数値流束を学習する他の既存の機械学習手法とは対照的に、GRINN は物理流束関数自体を学習します。
GRINN は、その構造により、ランキン・ユゴニオ条件を満たす近似リーマン ソルバーに基づいて解演算子を学習する、解釈可能な保守的なスキームを提供します。
GRINN のパフォーマンスは、Burgers、Shallow Water、Lighthill-Whitham-Richards、Payne-Whitham 交通流モデルという 4 つのベンチマーク問題によって評価されます。
これらの PDE の溶液プロファイルは、有限時間における衝撃波、希薄化、および/または接触の不連続を示します。
GRINN が滑らかな領域と不連続な領域の両方で非常に高い精度を提供することを実証します。

要約(オリジナル)

We present GRINNs: numerical analysis-informed neural networks for the solution of inverse problems of non-linear systems of conservation laws. GRINNs are based on high-resolution Godunov schemes for the solution of the Riemann problem in hyperbolic Partial Differential Equations (PDEs). In contrast to other existing machine learning methods that learn the numerical fluxes of conservative Finite Volume methods, GRINNs learn the physical flux function per se. Due to their structure, GRINNs provide interpretable, conservative schemes, that learn the solution operator on the basis of approximate Riemann solvers that satisfy the Rankine-Hugoniot condition. The performance of GRINNs is assessed via four benchmark problems, namely the Burgers’, the Shallow Water, the Lighthill-Whitham-Richards and the Payne-Whitham traffic flow models. The solution profiles of these PDEs exhibit shock waves, rarefactions and/or contact discontinuities at finite times. We demonstrate that GRINNs provide a very high accuracy both in the smooth and discontinuous regions.

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