Quantum computing and persistence in topological data analysis

要約

トポロジカル データ解析 (TDA) は、トポロジ内のホールの数と持続性を調べることにより、データ セットからノイズに強い特徴を抽出することを目的としています。
TDA の中核タスク (指定された穴が異なる長さスケールにわたって持続するかどうかを決定する) に密接に関連する計算問題は $\mathsf{BQP}_1$ 困難であり、$\mathsf{BQP}$ に含まれることを示します。
この結果は、標準的な複雑性理論の仮定の下で、この問題の量子速度が指数関数的に向上することを意味します。
私たちのアプローチは、誘導状態がホールの調和表現から構築される、誘導スパース ハミルトニアン問題の変形におけるホールの永続性のエンコードに依存しています。

要約(オリジナル)

Topological data analysis (TDA) aims to extract noise-robust features from a data set by examining the number and persistence of holes in its topology. We show that a computational problem closely related to a core task in TDA — determining whether a given hole persists across different length scales — is $\mathsf{BQP}_1$-hard and contained in $\mathsf{BQP}$. This result implies an exponential quantum speedup for this problem under standard complexity-theoretic assumptions. Our approach relies on encoding the persistence of a hole in a variant of the guided sparse Hamiltonian problem, where the guiding state is constructed from a harmonic representative of the hole.

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