On the Benefits of Active Data Collection in Operator Learning

要約

ターゲット演算子が線形であり、入力関数が連続共分散カーネルを使用した平均値ゼロの確率過程から抽出される場合の、演算子学習のためのアクティブなデータ収集戦略を調査します。
アクティブなデータ収集戦略により、共分散カーネルの固有値の減衰率の観点から誤差収束率を確立します。
したがって、共分散カーネルの固有値減衰が十分に速いため、任意に速い誤差収束率を達成できます。
これは、収束速度が $\sim n^{-1}$ より速くなることはない受動的 (i.i.d.) データ収集戦略とは対照的です。
実際、私たちの設定では、共分散カーネルの固有値減衰率に関係なく、受動的なデータ収集戦略に対して \emph{非消失} 下限を確立します。
全体として、私たちの結果は、オペレーターの学習において、受動的なデータ収集戦略よりも能動的なデータ収集戦略の利点を示しています。

要約(オリジナル)

We investigate active data collection strategies for operator learning when the target operator is linear and the input functions are drawn from a mean-zero stochastic process with continuous covariance kernels. With an active data collection strategy, we establish an error convergence rate in terms of the decay rate of the eigenvalues of the covariance kernel. Thus, with sufficiently rapid eigenvalue decay of the covariance kernels, arbitrarily fast error convergence rates can be achieved. This contrasts with the passive (i.i.d.) data collection strategies, where the convergence rate is never faster than $\sim n^{-1}$. In fact, for our setting, we establish a \emph{non-vanishing} lower bound for any passive data collection strategy, regardless of the eigenvalues decay rate of the covariance kernel. Overall, our results show the benefit of active over passive data collection strategies in operator learning.

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