Learning $k$-body Hamiltonians via compressed sensing

要約

必ずしも幾何学的に局所的ではない $M$ 未知のパウリ項を使用して $k$ 体ハミルトニアンを学習する問題を研究します。
我々は、総発展時間 ${\mathcal{O}}(M^{1/2+1/p}/\epsilon)$ で $\epsilon$ を対数倍の精度でハミルトニアンを学習するプロトコルを提案します。
誤差は、パウリ係数間の $\ell^p$ 距離によって定量化されます。
私たちの学習プロトコルは、単一量子ビットの制御演算と GHZ 状態の初期状態のみを使用し、非適応的で、SPAM エラーに対して堅牢であり、$M$ と $k$ が事前に正確にわかっていない場合や、ハミルトニアンが
は正確には $M$-sparse ではありません。
圧縮センシングの古典理論の手法は、すべての可能な $k$-body パウリ演算子の中からハミルトニアンの $M$ 項を効率的に識別するために使用されます。
また、この学習タスクに必要な合計進化時間の下限も提供し、$\ell^1$ および $\ell^2$ エラー メトリックの運用上の解釈について説明します。
以前の研究とは対照的に、私たちの学習プロトコルは幾何学的局所性も他の緩和された局所性条件も必要としません。

要約(オリジナル)

We study the problem of learning a $k$-body Hamiltonian with $M$ unknown Pauli terms that are not necessarily geometrically local. We propose a protocol that learns the Hamiltonian to precision $\epsilon$ with total evolution time ${\mathcal{O}}(M^{1/2+1/p}/\epsilon)$ up to logarithmic factors, where the error is quantified by the $\ell^p$-distance between Pauli coefficients. Our learning protocol uses only single-qubit control operations and a GHZ state initial state, is non-adaptive, is robust against SPAM errors, and performs well even if $M$ and $k$ are not precisely known in advance or if the Hamiltonian is not exactly $M$-sparse. Methods from the classical theory of compressed sensing are used for efficiently identifying the $M$ terms in the Hamiltonian from among all possible $k$-body Pauli operators. We also provide a lower bound on the total evolution time needed in this learning task, and we discuss the operational interpretations of the $\ell^1$ and $\ell^2$ error metrics. In contrast to previous works, our learning protocol requires neither geometric locality nor any other relaxed locality conditions.

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