On the sample complexity of purity and inner product estimation

要約

量子純度推定と量子内積推定という典型的なタスクのサンプルの複雑さを研究します。
純度推定では、未知の量子状態 $\rho$ の $tr(\rho^2)$ を加算誤差 $\epsilon$ まで推定します。
一方、量子内積推定の場合、アリスとボブは、古典通信と制限された未知の量子状態 $\rho$ と $\sigma$ のコピーを与えて、$tr(\rho\sigma)$ を加算誤差 $\epsilon$ まで推定します。
量子通信。
この論文では、有界量子メモリによる純度推定のサンプルの複雑さと、有界量子通信およびアンタングルメント測定による内積推定との間に強い関連性があることを示します。
$k$-qubit 一方向量子通信と $O(median\{1/\epsilon^2,2^{n/2}/\epsilon,
$\rho$ と $\sigma$ の 2^{n-k}/\epsilon^2\})$ 個のコピー。
私たちのプロトコルは、同じ複雑さの $k$-qubit 量子メモリを使用して未知の量子状態 $\rho$ の純度を推定するように変更できます。
$\epsilon$ に対する純度を推定する $k$-qubit 量子メモリを備えた任意のプロトコルには $\Omega(median\{1/\epsilon^2,2^{n/2}/\sqrt{\epsilon) が必要であることを証明します
},2^{n-k}/\epsilon^2\})$ 個の $\rho$ のコピー。
これは、一方向 $k$-qubit 量子通信と古典通信、およびもつれのない局所測定による量子内積推定の下限が同じであることを示しています。
純度の推定では、同一のシングルコピー射影を使用するすべてのプロトコルの $\Omega(\max\{1/\epsilon^2,2^{n/2}/\epsilon\})$ の下限をさらに改善します。
-価値のある測定。
さらに、混合状態の量子通信を使用しない量子分散内積推定の決定変種を調査し、サンプルの複雑さの下限を提供します。

要約(オリジナル)

We study the sample complexity of the prototypical tasks quantum purity estimation and quantum inner product estimation. In purity estimation, we are to estimate $tr(\rho^2)$ of an unknown quantum state $\rho$ to additive error $\epsilon$. Meanwhile, for quantum inner product estimation, Alice and Bob are to estimate $tr(\rho\sigma)$ to additive error $\epsilon$ given copies of unknown quantum state $\rho$ and $\sigma$ using classical communication and restricted quantum communication. In this paper, we show a strong connection between the sample complexity of purity estimation with bounded quantum memory and inner product estimation with bounded quantum communication and unentangled measurements. We propose a protocol that solves quantum inner product estimation with $k$-qubit one-way quantum communication and unentangled local measurements using $O(median\{1/\epsilon^2,2^{n/2}/\epsilon,2^{n-k}/\epsilon^2\})$ copies of $\rho$ and $\sigma$. Our protocol can be modified to estimate the purity of an unknown quantum state $\rho$ using $k$-qubit quantum memory with the same complexity. We prove that arbitrary protocols with $k$-qubit quantum memory that estimate purity to error $\epsilon$ require $\Omega(median\{1/\epsilon^2,2^{n/2}/\sqrt{\epsilon},2^{n-k}/\epsilon^2\})$ copies of $\rho$. This indicates the same lower bound for quantum inner product estimation with one-way $k$-qubit quantum communication and classical communication, and unentangled local measurements. For purity estimation, we further improve the lower bound to $\Omega(\max\{1/\epsilon^2,2^{n/2}/\epsilon\})$ for any protocols using an identical single-copy projection-valued measurement. Additionally, we investigate a decisional variant of quantum distributed inner product estimation without quantum communication for mixed state and provide a lower bound on the sample complexity.

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