Rapid Grassmannian Averaging with Chebyshev Polynomials

要約

我々は、集中設定と分散設定の両方でグラスマン多様体上の点の集合を効率的に平均化するための新しいアルゴリズムを提案します。
グラスマン点は、(多くの場合低次元の) 部分空間を通じてデータを表現するために、機械学習、コンピューター ビジョン、信号処理で広く使用されています。
これらの点を平均することは多くのタスク (特に分散設定) にとって重要ですが、残念ながら、多様体の非ユークリッド幾何学のため、既存の方法は依然として計算コストが高くなります。
私たちが提案するアルゴリズム、Rapid Grassmannian Averaging (RGrAv) および Decentralized Rapid Grassmannian Averaging (DRGrAv) は、問題のスペクトル構造を活用して、小さな行列の乗算と QR 分解のみを使用して平均を迅速に計算することで、この課題を克服します。
私たちは最適性の理論的保証を提供し、最小限の時間で高精度のソリューションを提供する点で私たちのアルゴリズムが最先端の方法よりも優れていることを実証する数値実験を示します。
追加の実験では、ビデオ モーション データの K 平均法クラスタリングなどのタスクに対するアルゴリズムの多用途性を示し、RGrAv と DRGrAv が一般的なグラスマン平均化のための強力なツールとして確立されました。

要約(オリジナル)

We propose new algorithms to efficiently average a collection of points on a Grassmannian manifold in both the centralized and decentralized settings. Grassmannian points are used ubiquitously in machine learning, computer vision, and signal processing to represent data through (often low-dimensional) subspaces. While averaging these points is crucial to many tasks (especially in the decentralized setting), existing methods unfortunately remain computationally expensive due to the non-Euclidean geometry of the manifold. Our proposed algorithms, Rapid Grassmannian Averaging (RGrAv) and Decentralized Rapid Grassmannian Averaging (DRGrAv), overcome this challenge by leveraging the spectral structure of the problem to rapidly compute an average using only small matrix multiplications and QR factorizations. We provide a theoretical guarantee of optimality and present numerical experiments which demonstrate that our algorithms outperform state-of-the-art methods in providing high accuracy solutions in minimal time. Additional experiments showcase the versatility of our algorithms to tasks such as K-means clustering on video motion data, establishing RGrAv and DRGrAv as powerful tools for generic Grassmannian averaging.

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