An End-to-End Deep Learning Method for Solving Nonlocal Allen-Cahn and Cahn-Hilliard Phase-Field Models

要約

非局所的な Allen-Cahn (AC) および Cahn-Hilliard (CH) 位相場モデルを解決するための効率的なエンドツーエンドの深層学習方法を提案します。
この取り組みの動機の 1 つは、離散化された偏微分方程式に基づく AC または CH 位相場モデルでは位相間に拡散界面が生じ、修正の唯一の手段は真の移動位相付近の空間グリッドを厳密に調整することであるという事実から生じています。
ローカル グリッド サイズよりも大幅に大きい、グリッドに依存しないパラメータによって幅が決定されるシャープなインターフェイス。
この研究では、規則的、対数的、または障害物二重井戸ポテンシャルを備えた非質量保存非局所 AC または CH 位相場モデルを導入します。
非局所性のため、これらのモデルの一部は、位相を分離する完全に鋭い界面を特徴としています。
このようなモデルを離散化すると、幅が 1 つのグリッド セル幅しかないフェーズ間の遷移が発生する可能性があります。
もう 1 つの動機は、深層学習アプローチを使用して、離散化非局所位相場モデルを解く際の高コストを改善することです。
この目的を達成するために、カスタマイズされたニューラル ネットワークの損失関数は、フーリエ コロケーション法と時間的半陰的近似を適用した結果得られる、AC または CH モデルの完全離散近似の残差を使用して定義されます。
モデル内の長距離相互作用に対処するために、非ローカル カーネルを入力チャネルとしてニューラル ネットワーク モデルに組み込むことで、ニューラル ネットワークのアーキテクチャを調整します。
次に、広範な計算実験の結果を提供して、提案された方法の精度、構造保存特性、予測能力、コスト削減を説明します。

要約(オリジナル)

We propose an efficient end-to-end deep learning method for solving nonlocal Allen-Cahn (AC) and Cahn-Hilliard (CH) phase-field models. One motivation for this effort emanates from the fact that discretized partial differential equation-based AC or CH phase-field models result in diffuse interfaces between phases, with the only recourse for remediation is to severely refine the spatial grids in the vicinity of the true moving sharp interface whose width is determined by a grid-independent parameter that is substantially larger than the local grid size. In this work, we introduce non-mass conserving nonlocal AC or CH phase-field models with regular, logarithmic, or obstacle double-well potentials. Because of non-locality, some of these models feature totally sharp interfaces separating phases. The discretization of such models can lead to a transition between phases whose width is only a single grid cell wide. Another motivation is to use deep learning approaches to ameliorate the otherwise high cost of solving discretized nonlocal phase-field models. To this end, loss functions of the customized neural networks are defined using the residual of the fully discrete approximations of the AC or CH models, which results from applying a Fourier collocation method and a temporal semi-implicit approximation. To address the long-range interactions in the models, we tailor the architecture of the neural network by incorporating a nonlocal kernel as an input channel to the neural network model. We then provide the results of extensive computational experiments to illustrate the accuracy, structure-preserving properties, predictive capabilities, and cost reductions of the proposed method.

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