Optimal Transportation by Orthogonal Coupling Dynamics

要約

多くの数値アルゴリズムと学習タスクは、Monge-Kantorovich 問題の解と対応する Wasserstein 距離に基づいています。
問題を無限次元線形計画法として扱うのが自然なアプローチですが、このような方法論では、サンプル サイズに関する多項式のスケーリングと大量のメモリ要件により、計算パフォーマンスが大幅に制限されます。
我々は、投影型勾配降下法に基づいてモンジュ・カントロヴィッチ問題に対処するための新しい代替フレームワークを提案します。
マイクロダイナミクスは、条件付き期待の概念に基づいて構築されており、意見のダイナミクスとの関係が調査され、コンパクトな数値スキームを構築するために活用されます。
考案されたダイナミクスにより、良好な計算パフォーマンスでランダム マップが復元されることを示します。
理論的な洞察に加えて、提供されたダイナミクスは、最適な輸送マップとワッサーシュタイン距離を計算するための数値スキームを構築するための革新的なアプローチへの道を開きます。

要約(オリジナル)

Many numerical algorithms and learning tasks rest on solution of the Monge-Kantorovich problem and corresponding Wasserstein distances. While the natural approach is to treat the problem as an infinite-dimensional linear programming, such a methodology severely limits the computational performance due to the polynomial scaling with respect to the sample size along with intensive memory requirements. We propose a novel alternative framework to address the Monge-Kantorovich problem based on a projection type gradient descent scheme. The micro-dynamics is built on the notion of the conditional expectation, where the connection with the opinion dynamics is explored and leveraged to build compact numerical schemes. We demonstrate that the devised dynamics recovers random maps with favourable computational performance. Along with the theoretical insight, the provided dynamics paves the way for innovative approaches to construct numerical schemes for computing optimal transport maps as well as Wasserstein distances.

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