Probabilistic Analysis of Least Squares, Orthogonal Projection, and QR Factorization Algorithms Subject to Gaussian Noise

要約

この論文では、Liesen らの研究を拡張します。
(2002) は、列が追加されたとき ([Q, c]) に正規直交行列 Q の条件数がどのように変化するかを分析し、特に Q のスパンに対する c の垂直性に焦点を当てています。その結果は、次の定理 2.3 に示されています。
リーゼンら。
(2002) は、Q の正確な算術正規直交性を仮定しています。これは、これらの結果を QR 因数分解アルゴリズムなどの数値手法に適用する場合の強力な仮定です。
私たちの研究では、列が B のスパンに対して完全に直交していない場合でも、完全な直交正規性を仮定せずに、行列 B の条件数増加の限界を導き出すことで、このギャップに対処します。このフレームワークを使用すると、直交化が行われる QR 分解法を分析できます。
は不完全であり、ガウス ノイズの影響を受けます。
また、ガウス ノイズの下での直交投影と最小二乗法のパフォーマンスに関する結果も提供し、この理論の発展をさらにサポートします。

要約(オリジナル)

In this paper, we extend the work of Liesen et al. (2002), which analyzes how the condition number of an orthonormal matrix Q changes when a column is added ([Q, c]), particularly focusing on the perpendicularity of c to the span of Q. Their result, presented in Theorem 2.3 of Liesen et al. (2002), assumes exact arithmetic and orthonormality of Q, which is a strong assumption when applying these results to numerical methods such as QR factorization algorithms. In our work, we address this gap by deriving bounds on the condition number increase for a matrix B without assuming perfect orthonormality, even when a column is not perfectly orthogonal to the span of B. This framework allows us to analyze QR factorization methods where orthogonalization is imperfect and subject to Gaussian noise. We also provide results on the performance of orthogonal projection and least squares under Gaussian noise, further supporting the development of this theory.

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