Message-Passing Monte Carlo: Generating low-discrepancy point sets via Graph Neural Networks

要約

不一致は、点セットの分布の不規則性を表すよく知られた尺度です。
不一致が小さい点セットは低不一致と呼ばれ、均一な方法で空間を効率的に埋めることが知られています。
低不一致点は、数値積分、コンピュータ ビジョン、機械認識、コンピュータ グラフィックス、機械学習、シミュレーションなど、科学や工学の多くの問題で中心的な役割を果たします。
この研究では、メッセージ パッシング モンテカルロ (MPMC) ポイントと呼ばれる新しいクラスの低矛盾点セットを生成する最初の機械学習アプローチを紹介します。
不一致の少ない点セットを生成する幾何学的な性質に動機付けられ、私たちは幾何学深層学習のツールを活用し、グラフ ニューラル ネットワークに基づいたモデルを作成します。
さらに、高次元へのフレームワークの拡張を提供します。これにより、当面の特定の問題にとって主に重要な特定の次元での均一性を強調するカスタムメイドのポイントを柔軟に生成できます。
最後に、提案したモデルが以前の方法よりも大幅に優れた最先端のパフォーマンスを達成することを実証します。
実際、MPMC ポイントは、低次元および少数のポイントの不一致に関して最適または最適に近いことが経験的に示されており、つまり、最適な不一致を決定できます。
MPMC ポイントを生成するコードは、https://github.com/tk-rusch/MPMC にあります。

要約(オリジナル)

Discrepancy is a well-known measure for the irregularity of the distribution of a point set. Point sets with small discrepancy are called low-discrepancy and are known to efficiently fill the space in a uniform manner. Low-discrepancy points play a central role in many problems in science and engineering, including numerical integration, computer vision, machine perception, computer graphics, machine learning, and simulation. In this work, we present the first machine learning approach to generate a new class of low-discrepancy point sets named Message-Passing Monte Carlo (MPMC) points. Motivated by the geometric nature of generating low-discrepancy point sets, we leverage tools from Geometric Deep Learning and base our model on Graph Neural Networks. We further provide an extension of our framework to higher dimensions, which flexibly allows the generation of custom-made points that emphasize the uniformity in specific dimensions that are primarily important for the particular problem at hand. Finally, we demonstrate that our proposed model achieves state-of-the-art performance superior to previous methods by a significant margin. In fact, MPMC points are empirically shown to be either optimal or near-optimal with respect to the discrepancy for low dimension and small number of points, i.e., for which the optimal discrepancy can be determined. Code for generating MPMC points can be found at https://github.com/tk-rusch/MPMC.

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