Computational Dynamical Systems

要約

私たちは、滑らかな有限次元動的システムの計算複雑性理論を研究します。
以前の研究を基にして、チューリング マシンをシミュレートする滑らかな動的システムが何を意味するのかを定義します。
次に、「カオス」力学システム (より正確には、公理 A システム) と「可積分」力学システム (より一般的には、測度保存システム) は、普遍的なチューリング マシンをロバストにシミュレートできないが、そのようなマシンは他の種類のチューリング マシンでロバストにシミュレートできることを示します。
ダイナミックなシステム。
続いて、構造的に安定した 1 次元力学システムにエンコードできるチューリング マシンには、決定可能な停止問題が存在し、さらに、停止する場合には明示的な時間計算量制限が存在する必要があることを示します。
より広範には、私たちの研究は、ある「マシン」が別の「マシン」をシミュレートすることが何を意味するのかを解明し、シミュレーションのダイナミクスとシミュレートされるシステムの間で変換を行うための、複雑さの低い「エンコーダ」と「デコーダ」を定義する必要性を強調しています。
計算力学システムの概念が、計算複雑性理論、力学システム理論、および実際の代数幾何学の交差点でどのように疑問を引き起こすかを強調します。

要約(オリジナル)

We study the computational complexity theory of smooth, finite-dimensional dynamical systems. Building off of previous work, we give definitions for what it means for a smooth dynamical system to simulate a Turing machine. We then show that ‘chaotic’ dynamical systems (more precisely, Axiom A systems) and ‘integrable’ dynamical systems (more generally, measure-preserving systems) cannot robustly simulate universal Turing machines, although such machines can be robustly simulated by other kinds of dynamical systems. Subsequently, we show that any Turing machine that can be encoded into a structurally stable one-dimensional dynamical system must have a decidable halting problem, and moreover an explicit time complexity bound in instances where it does halt. More broadly, our work elucidates what it means for one ‘machine’ to simulate another, and emphasizes the necessity of defining low-complexity ‘encoders’ and ‘decoders’ to translate between the dynamics of the simulation and the system being simulated. We highlight how the notion of a computational dynamical system leads to questions at the intersection of computational complexity theory, dynamical systems theory, and real algebraic geometry.

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