Learning Generalized Hamiltonians using fully Symplectic Mappings

要約

多くの重要な物理システムは、ハミルトニアン システムの進化として説明できます。ハミルトニアン システムには、保存的であるという重要な特性があります。つまり、進化を通じてエネルギーが保存されます。
物理情報に基づいたニューラル ネットワーク、特にハミルトニアン ニューラル ネットワークは、構造的帰納的バイアスを NN モデルに組み込むメカニズムとして登場しました。
物理的な不変性が確実に保存されることにより、モデルは標準の NN よりも大幅に優れたサンプルの複雑さと分布外の精度を示します。
したがって、システムのサンプル観察から、その正準変数 (通常は位置と速度) の関数としてハミルトニアンを学習することは、システムの同定とシステム動作の長期予測において重要なタスクになります。
ただし、ハミルトニアン システムの長期的な物理保存特性を真に保存するには、システムのシミュレーションの前方パスにシンプレクティック積分器を使用する必要があります。
シンプレクティック スキームは文献で使用されていますが、これまでのところ、分離可能なハミルトニアンや拡張された非分離不可能なハミルトニアンの場合を含む、明示的なアルゴリズムに帰着する状況に限定されています。
これを一般化非分離ハミルトニアンに拡張し、シンプレクティック積分器の自己共役特性に注目して、ODE ソルバーによる計算集約的な逆伝播をバイパスします。
この方法がノイズに対して堅牢であり、状態変数がノイズのある観測値からサンプリングされた場合にシステム ハミルトニアンの良好な近似が得られることを示します。
数値結果では、ハミルトニアンの再構築と保存に関するこの方法のパフォーマンスを示し、非分離システムに対するこの方法の特別な利点を示しています。

要約(オリジナル)

Many important physical systems can be described as the evolution of a Hamiltonian system, which has the important property of being conservative, that is, energy is conserved throughout the evolution. Physics Informed Neural Networks and in particular Hamiltonian Neural Networks have emerged as a mechanism to incorporate structural inductive bias into the NN model. By ensuring physical invariances are conserved, the models exhibit significantly better sample complexity and out-of-distribution accuracy than standard NNs. Learning the Hamiltonian as a function of its canonical variables, typically position and velocity, from sample observations of the system thus becomes a critical task in system identification and long-term prediction of system behavior. However, to truly preserve the long-run physical conservation properties of Hamiltonian systems, one must use symplectic integrators for a forward pass of the system’s simulation. While symplectic schemes have been used in the literature, they are thus far limited to situations when they reduce to explicit algorithms, which include the case of separable Hamiltonians or augmented non-separable Hamiltonians. We extend it to generalized non-separable Hamiltonians, and noting the self-adjoint property of symplectic integrators, we bypass computationally intensive backpropagation through an ODE solver. We show that the method is robust to noise and provides a good approximation of the system Hamiltonian when the state variables are sampled from a noisy observation. In the numerical results, we show the performance of the method concerning Hamiltonian reconstruction and conservation, indicating its particular advantage for non-separable systems.

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