Structure-preserving learning for multi-symplectic PDEs

要約

この論文では、偏微分方程式 (PDE) の多重シンプレクティック形式を利用して、低次数モデル (ROM) を推論するためのエネルギー保存機械学習方法を紹介します。
エネルギー保存低次数法の大多数は、シンプレクティック ガラーキン射影を使用して、完全なモデルをシンプレクティック部分空間に投影することによって低次数ハミルトニアン モデルを構築します。
ただし、シンプレクティック射影には完全に離散的な演算子の存在が必要であり、ブラック ボックス PDE ソルバーなどの多くの場合、これらの演算子にはアクセスできません。
この研究では、提案されたフレームワークが完全に離散演算子に依存しないように、データのみを使用して特定の偏微分方程式のダイナミクスを推論できるエネルギー保存機械学習方法を提案します。
これに関連して、提案された方法は非侵入的です。
提案された方法は、偏微分方程式レベルでの多重シンプレクティック モデルの基本的な知識のみが必要であるという意味でグレー ボックスです。
提案した方法が空間的に離散的な局所エネルギー保存を満たし、多重シンプレクティック保存則を保存することを証明します。
線形波動方程式、Korteweg-de Vries 方程式、および Zakharov-Kuznetsov 方程式でメソッドをテストします。
トレーニング時間間隔を大幅に外してテストすることで、学習したモデルの一般化をテストします。

要約(オリジナル)

This paper presents an energy-preserving machine learning method for inferring reduced-order models (ROMs) by exploiting the multi-symplectic form of partial differential equations (PDEs). The vast majority of energy-preserving reduced-order methods use symplectic Galerkin projection to construct reduced-order Hamiltonian models by projecting the full models onto a symplectic subspace. However, symplectic projection requires the existence of fully discrete operators, and in many cases, such as black-box PDE solvers, these operators are inaccessible. In this work, we propose an energy-preserving machine learning method that can infer the dynamics of the given PDE using data only, so that the proposed framework does not depend on the fully discrete operators. In this context, the proposed method is non-intrusive. The proposed method is grey box in the sense that it requires only some basic knowledge of the multi-symplectic model at the partial differential equation level. We prove that the proposed method satisfies spatially discrete local energy conservation and preserves the multi-symplectic conservation laws. We test our method on the linear wave equation, the Korteweg-de Vries equation, and the Zakharov-Kuznetsov equation. We test the generalization of our learned models by testing them far outside the training time interval.

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