On Semidefinite Relaxations for Matrix-Weighted State-Estimation Problems in Robotics

要約

近年、ロボット工学における知覚問題の大域最適を見つけるために半明確な凸緩和を利用する、いわゆる認証可能な知覚方法の開発において目覚ましい進歩が見られました。
ただし、これらの緩和の多くは、等方性測定ノイズ分布など、問題の定式化を容易にする単純化された仮定に依存しています。
この論文では、行列重み付き (異方性) 状態推定問題の半定値緩和の緊密性を調査し、そこに潜む制限を明らかにします。行列重み付け因子により、凸状緩和の緊密性が失われる可能性があります。
特に、行列の重みによる位置特定問題の半明確な緩和は、ノイズ レベルが低い場合にのみ厳密である可能性があることを示します。
この問題をよりよく理解するために、状態推定の事後不確実性と凸緩和によって得られる証明書行列との間に理論的な関係を導入します。
この関係を念頭に置いて、私たちはこの気密性の喪失に寄与する要因を経験的に調査し、冗長制約を使用して気密性を回復できることを実証します。
この論文の 2 番目の技術的貢献として、行列の重みを考慮する場合、スカラー重み付き SLAM の最先端の緩和は使用できないことを示します。
代替の定式化を提供し、特定の冗長制約が使用されない限り、その SDP 緩和が (非常に低いノイズ レベルであっても) 厳密ではないことを示します。
シミュレーション データと現実世界のデータの両方で、定式化の厳密性を実証します。

要約(オリジナル)

In recent years, there has been remarkable progress in the development of so-called certifiable perception methods, which leverage semidefinite, convex relaxations to find global optima of perception problems in robotics. However, many of these relaxations rely on simplifying assumptions that facilitate the problem formulation, such as an isotropic measurement noise distribution. In this paper, we explore the tightness of the semidefinite relaxations of matrix-weighted (anisotropic) state-estimation problems and reveal the limitations lurking therein: matrix-weighted factors can cause convex relaxations to lose tightness. In particular, we show that the semidefinite relaxations of localization problems with matrix weights may be tight only for low noise levels. To better understand this issue, we introduce a theoretical connection between the posterior uncertainty of the state estimate and the certificate matrix obtained via convex relaxation. With this connection in mind, we empirically explore the factors that contribute to this loss of tightness and demonstrate that redundant constraints can be used to regain it. As a second technical contribution of this paper, we show that the state-of-the-art relaxation of scalar-weighted SLAM cannot be used when matrix weights are considered. We provide an alternate formulation and show that its SDP relaxation is not tight (even for very low noise levels) unless specific redundant constraints are used. We demonstrate the tightness of our formulations on both simulated and real-world data.

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