The unknotting number, hard unknot diagrams, and reinforcement learning

要約

私たちは、最大 200 個の交差を持つノット図のノット解除交差変更の最小シーケンスを見つけることができる強化学習エージェントを開発しました。これにより、ノット解除数に上限が与えられます。
これを使用して、57k ノットの結び目を解く数を決定しました。
私たちは、加数が重ね合わされた、反対の符号が付いたこのようなノットの接続和の図を作成しました。
エージェントは、ノットのない交差の集合におけるいくつかの交差変化が双曲線ノットを引き起こす例を発見しました。
これに基づいて、いくつかの穏やかな仮定を満たすノット $K$ と $K’$ が与えられた場合、次のようなそれらの接続和と $u(K) + u(K’)$ のノットを解く交差の図が存在することを示しました。
それらのいずれかを変更すると、プライム ノットが生成されます。
副産物として、260 万個の異なるハードアンノット図のデータセットを取得しました。
それらのほとんどは35の交差点の下にあります。
解結数の加法性を仮定し、解結数が不明な最大43個の12交差ノットの解結数を求めた。

要約(オリジナル)

We have developed a reinforcement learning agent that often finds a minimal sequence of unknotting crossing changes for a knot diagram with up to 200 crossings, hence giving an upper bound on the unknotting number. We have used this to determine the unknotting number of 57k knots. We took diagrams of connected sums of such knots with oppositely signed signatures, where the summands were overlaid. The agent has found examples where several of the crossing changes in an unknotting collection of crossings result in hyperbolic knots. Based on this, we have shown that, given knots $K$ and $K’$ that satisfy some mild assumptions, there is a diagram of their connected sum and $u(K) + u(K’)$ unknotting crossings such that changing any one of them results in a prime knot. As a by-product, we have obtained a dataset of 2.6 million distinct hard unknot diagrams; most of them under 35 crossings. Assuming the additivity of the unknotting number, we have determined the unknotting number of 43 at most 12-crossing knots for which the unknotting number is unknown.

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