Minimum projective linearizations of trees in linear time

要約

最小線形配置問題 (MLA) は、 $\sum_{\{u,v\}\in E}|\pi(u) – \ を最小化する、グラフの頂点から個別の整数へのマッピング $\pi$ を見つけることで構成されます。
pi(v)|$。
その設定では、多くの場合、頂点は水平線上にあると想定され、エッジはその線の上に半円として描画されます。
ツリーの場合、$n=|V|$ の多項式時間で問題を解くためにさまざまなアルゴリズムが利用できます。
配置が制約されている MLA のバリエーションが存在します。
Iordanskii とその後の Hochberg と Stallmann (HS) は、配置が平面に制限されている場合 (1 ページの本の埋め込みとも呼ばれる) 問題を解決する $O(n)$ 回のアルゴリズムを提案しました。
また、射影的になるように制約された根のある木の線形配置 (根がエッジで覆われていない平面的な埋め込み) も考慮します。
Gildea と Temperley (GT) は、射影配置のアルゴリズムをスケッチし、$O(n)$ で実行できると主張しましたが、そのコストの正当性は示しませんでした。
対照的に、Park と Levy は、GT のアルゴリズムは $O(n \log d_{max})$ ($d_{max}$ が最大次数) で実行されると主張しましたが、十分な詳細は提供していませんでした。
ここでは、平面の場合の HS のアルゴリズムのエラーを修正し、射影の場合との関係を示し、$O(n)$ 時間で間違いなく実行される射影および平面の場合の簡単なアルゴリズムを導出します。

要約(オリジナル)

The Minimum Linear Arrangement problem (MLA) consists of finding a mapping $\pi$ from vertices of a graph to distinct integers that minimizes $\sum_{\{u,v\}\in E}|\pi(u) – \pi(v)|$. In that setting, vertices are often assumed to lie on a horizontal line and edges are drawn as semicircles above said line. For trees, various algorithms are available to solve the problem in polynomial time in $n=|V|$. There exist variants of the MLA in which the arrangements are constrained. Iordanskii, and later Hochberg and Stallmann (HS), put forward $O(n)$-time algorithms that solve the problem when arrangements are constrained to be planar (also known as one-page book embeddings). We also consider linear arrangements of rooted trees that are constrained to be projective (planar embeddings where the root is not covered by any edge). Gildea and Temperley (GT) sketched an algorithm for projective arrangements which they claimed runs in $O(n)$ but did not provide any justification of its cost. In contrast, Park and Levy claimed that GT’s algorithm runs in $O(n \log d_{max})$ where $d_{max}$ is the maximum degree but did not provide sufficient detail. Here we correct an error in HS’s algorithm for the planar case, show its relationship with the projective case, and derive simple algorithms for the projective and planar cases that run without a doubt in $O(n)$ time.

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