Graph Laplacian-based Bayesian Multi-fidelity Modeling

要約

我々は、低忠実度データと高忠実度データの両方に固有のエラーを考慮しながら、マルチ忠実度データを生成するための新しい確率的アプローチを提案します。
このアプローチでは、低忠実度データから構築されたグラフ ラプラシアンを使用して、真のデータ ポイントの座標の多変量ガウス事前密度を定義します。
さらに、共役尤度項の構築には、忠実度の高いデータ ポイントがほとんど使用されません。
その後、ベイズ規則を適用して、やはり多変量ガウスである事後密度の明示的な式を導き出します。
この密度の最大 \textit{事後的} (MAP) 推定値が、最適な多重忠実度推定値として選択されます。
MAP 推定値と事後密度の共分散は、線形連立方程式の解を通じて決定できることが示されています。
その後、これらの方程式を効率的に解くために、スペクトル切り捨てに基づく方法と低ランク近似に基づく方法の 2 つの方法が開発されました。
マルチ忠実度のアプローチは、対象量のベクトルと 1 次元および 2 次元の離散化空間フィールドを表すデータを使用して、固体および流体力学のさまざまな問題に対してテストされます。
この結果は、高忠実度データのごく一部を利用することで、マルチ忠実度アプローチにより、低忠実度データ ポイントの大規模なコレクションの精度を大幅に向上できることを示しています。

要約(オリジナル)

We present a novel probabilistic approach for generating multi-fidelity data while accounting for errors inherent in both low- and high-fidelity data. In this approach a graph Laplacian constructed from the low-fidelity data is used to define a multivariate Gaussian prior density for the coordinates of the true data points. In addition, few high-fidelity data points are used to construct a conjugate likelihood term. Thereafter, Bayes rule is applied to derive an explicit expression for the posterior density which is also multivariate Gaussian. The maximum \textit{a posteriori} (MAP) estimate of this density is selected to be the optimal multi-fidelity estimate. It is shown that the MAP estimate and the covariance of the posterior density can be determined through the solution of linear systems of equations. Thereafter, two methods, one based on spectral truncation and another based on a low-rank approximation, are developed to solve these equations efficiently. The multi-fidelity approach is tested on a variety of problems in solid and fluid mechanics with data that represents vectors of quantities of interest and discretized spatial fields in one and two dimensions. The results demonstrate that by utilizing a small fraction of high-fidelity data, the multi-fidelity approach can significantly improve the accuracy of a large collection of low-fidelity data points.

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