A Tutorial on the Use of Physics-Informed Neural Networks to Compute the Spectrum of Quantum Systems

要約

量子多体系は、物理学、生物学、化学を含む多くの研究分野で大きな関心を集めています。
ただし、システムのサイズに応じてヒルベルト空間が指数関数的に増大するため、シミュレーションは非常に困難であり、正確な方法を使用して大規模システムの波動関数をパラメーター化することが非常に困難になります。
ニューラル ネットワークと機械学習は一般に、この課題に対処する方法です。
たとえば、テンソル ネットワークや神経量子状態などの手法は、量子力学システムの波動関数を取得するための有望なツールとして研究されています。
このチュートリアルでは、深層学習アルゴリズムの特に有望なクラスに焦点を当てます。
固有値と固有関数を見つけて、特定のポテンシャルのシュレディンガー方程式を解くことができる物理情報に基づくニューラル ネットワーク (PINN) を構築する方法を説明します。
この手法は教師なしで、ほとんど研究されていない方法で新しい計算手法を利用します。
PINN は、自動微分を利用してメッシュフリーの方法で積分微分方程式を解く深層学習手法です。
基底状態と励起状態の両方を見つける方法を示します。
この方法では、基底状態から開始して段階的に状態を発見します。
物理システムの知識をさらに活用するために、損失に帰納的バイアスを導入する方法を説明します。
このような追加の制約により、より高速かつ正確な収束が可能になります。
この技術は、PINN のメッシュフリーの性質を利用するために、コロケーション ポイントを賢く選択することで強化できます。
この方法は、無限ポテンシャル井戸とリング内の粒子に適用することによって明示されます。これは、複素数値の固有関数と縮退状態が存在するため、人工知能エージェントが学習する困難な問題です。

要約(オリジナル)

Quantum many-body systems are of great interest for many research areas, including physics, biology and chemistry. However, their simulation is extremely challenging, due to the exponential growth of the Hilbert space with the system size, making it exceedingly difficult to parameterize the wave functions of large systems by using exact methods. Neural networks and machine learning in general are a way to face this challenge. For instance, methods like Tensor networks and Neural Quantum States are being investigated as promising tools to obtain the wave function of a quantum mechanical system. In this tutorial, we focus on a particularly promising class of deep learning algorithms. We explain how to construct a Physics-Informed Neural Network (PINN) able to solve the Schr\’odinger equation for a given potential, by finding its eigenvalues and eigenfunctions. This technique is unsupervised, and utilizes a novel computational method in a manner that is barely explored. PINNs are a deep learning method that exploits Automatic Differentiation to solve Integro-Differential Equations in a mesh-free way. We show how to find both the ground and the excited states. The method discovers the states progressively by starting from the ground state. We explain how to introduce inductive biases in the loss to exploit further knowledge of the physical system. Such additional constraints allow for a faster and more accurate convergence. This technique can then be enhanced by a smart choice of collocation points in order to take advantage of the mesh-free nature of the PINN. The methods are made explicit by applying them to the infinite potential well and the particle in a ring, a challenging problem to be learned by an Artificial Intelligence agent due to the presence of complex-valued eigenfunctions and degenerate states.

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