Predicting quantum channels over general product distributions

要約

未知の量子チャネルの出力挙動を予測する問題を調査します。
$n$-qubit チャネル $E$ と観測可能な $O$ へのクエリ アクセスが与えられた場合、マッピング \begin{equation*} \rho \mapsto \mathrm{Tr}(O E[\rho]) \ を学習することを目的としています。
end{equation*} は、分布 $D$ からサンプリングされたほとんどの $\rho$ で小さな誤差内に収まります。
以前、Huang、Chen、Preskill は、$E$ が任意であっても、このタスクはおよそ $n^{O(\log(1/\epsilon))}$ の時間内に解決できるという驚くべき結果を証明しました。ここで、$\
epsilon$ はターゲットの予測誤差です。
ただし、その保証は、すべての単一量子ビット クリフォード ゲートの下で不変な入力分布 $D$ にのみ適用され、そのアルゴリズムは積状態 $\rho$ にわたる一般的な積分布などの重要なケースでは失敗します。
この研究では、本質的に任意の積分布 $D$ に対して正確な予測を達成する新しいアプローチを提案します。 ただし、それが「古典的」ではない場合、自明な指数関数の下限が存在します。
私たちの方法では、古典的な偏りのあるフーリエ解析に似た「偏ったパウリ解析」を採用しています。
このアプローチを実装するには、適切な直交性特性を備えた基底の欠如など、量子設定に固有のいくつかの課題を克服する必要があります。
これらの問題に対処するために私たちが開発した技術は、量子情報においてより広範囲に応用できる可能性があります。

要約(オリジナル)

We investigate the problem of predicting the output behavior of unknown quantum channels. Given query access to an $n$-qubit channel $E$ and an observable $O$, we aim to learn the mapping \begin{equation*} \rho \mapsto \mathrm{Tr}(O E[\rho]) \end{equation*} to within a small error for most $\rho$ sampled from a distribution $D$. Previously, Huang, Chen, and Preskill proved a surprising result that even if $E$ is arbitrary, this task can be solved in time roughly $n^{O(\log(1/\epsilon))}$, where $\epsilon$ is the target prediction error. However, their guarantee applied only to input distributions $D$ invariant under all single-qubit Clifford gates, and their algorithm fails for important cases such as general product distributions over product states $\rho$. In this work, we propose a new approach that achieves accurate prediction over essentially any product distribution $D$, provided it is not ‘classical’ in which case there is a trivial exponential lower bound. Our method employs a ‘biased Pauli analysis,’ analogous to classical biased Fourier analysis. Implementing this approach requires overcoming several challenges unique to the quantum setting, including the lack of a basis with appropriate orthogonality properties. The techniques we develop to address these issues may have broader applications in quantum information.

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